Определить, коллинеарны ли векторы

Определение предмета и раздела задания:

Предмет: Алгебра и геометрия
Раздел: Векторная алгебра

Задание:

Определить, коллинеарны ли два вектора: \( \vec{E_1} = 2\vec{a} + 4\vec{b} \) \( \vec{E_2} = 3\vec{a} - 6\vec{b} \), где \( \vec{a} = (1; -2; 3) \) и \( \vec{b} = (3; 0; -1) \).

Пояснение:

Коллинеарные векторы — это векторы, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Для того, чтобы проверить коллинеарность двух векторов, нужно проверить, является ли один из них пропорционален другому, то есть выполняется ли условие: \[ \vec{E_1} = k \cdot \vec{E_2} \], где \(k\) — некоторое действительное число.

Шаг 1: Найдем вектор \( \vec{E_1} \)

Для вычисления вектора \( \vec{E_1} = 2\vec{a} + 4\vec{b} \), подставляем значения векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \).

1. \( 2\vec{a} = 2(1; -2; 3) = (2; -4; 6) \)
2. \( 4\vec{b} = 4(3; 0; -1) = (12; 0; -4) \)

Складываем полученные векторы: \[ \vec{E_1} = (2; -4; 6) + (12; 0; -4) = (2 + 12; -4 + 0; 6 - 4) = (14; -4; 2) \]

Шаг 2: Найдем вектор \( \vec{E_2} \)

Теперь вычисляем вектор \( \vec{E_2} = 3\vec{a} - 6\vec{b} \).

1. \( 3\vec{a} = 3(1; -2; 3) = (3; -6; 9) \)
2. \( -6\vec{b} = -6(3; 0; -1) = (-18; 0; 6) \)

Складываем: \[ \vec{E_2} = (3; -6; 9) + (-18; 0; 6) = (3 - 18; -6 + 0; 9 + 6) = (-15; -6; 15) \]

Шаг 3: Проверим, коллинеарны ли векторы

Теперь нам нужно проверить, пропорциональны ли векторы \( \vec{E_1} = (14; -4; 2) \) и \( \vec{E_2} = (-15; -6; 15) \). Для этого убедимся, что существует одно и то же число \( k \), такое что: \[ \frac{E_{1x}}{E_{2x}} = \frac{E_{1y}}{E_{2y}} = \frac{E_{1z}}{E_{2z}} \]

Проверим пропорции для каждой компоненты:

1. \( \frac{14}{-15} \) — это отношение для первой компоненты.
2. \( \frac{-4}{-6} = \frac{2}{3} \) — это отношение для второй компоненты.
3. \( \frac{2}{15} \) — это отношение для третьей компоненты.

Как видно, пропорции не равны: \( \frac{14}{-15} \neq \frac{2}{3} \neq \frac{2}{15} \). Это значит, что (14; -4; 2) и (-15; -6; 15) не пропорциональны, следовательно, векторы \( \vec{E_1} \) и \( \vec{E_2} \) не коллинеарны.

Ответ:

Векторы \( \vec{E_1} \) и \( \vec{E_2} \) не коллинеарны.