Определить какие из векторов а(0,2,1) в(2,4,5) с(6,12,15) коллинеарны

Определим предмет: Линейная алгебра.

Раздел: Векторы в пространстве.

Задание просит проверить коллинеарность векторов, то есть проверить, направлены ли они вдоль одной линии (являются ли линейно зависимыми). Начнем с определения коллинеарности. Векторы \( \vec{a} \), \( \vec{b} \), \( \vec{c} \) коллинеарны, если один из них можно выразить через другой умножением на какое-то число (скаляр). То есть векторы \( \vec{u} = (u_1, u_2, u_3) \) и \( \vec{v} = (v_1, v_2, v_3) \) будут коллинеарны, если существует такое число \( k \), что выполняется равенство:

\[ \vec{v} = k\vec{u} \]

или, в компонентной записи:

\[ v_1 = ku_1, \ v_2 = ku_2, \ v_3 = ku_3 \]

Шаг 1: Проверим коллинеарность векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \):

\[ \vec{a} = (0, 2, 1), \ \vec{b} = (2, 4, 5). \]

Для два вектора были коллинеарны, должно выполняться условие:

\[ \frac{b_1}{a_1} = \frac{b_2}{a_2} = \frac{b_3}{a_3}. \]

Однако, для компоненты \( a_1 = 0 \), мы не можем вычислить отношение \( \frac{b_1}{a_1} \), потому что деление на ноль не определено. Соответственно, векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) не могут быть коллинеарны.

Шаг 2: Проверим коллинеарность векторов \( \vec{b} \) и \( \vec{c} \):

\[ \vec{b} = (2, 4, 5), \ \vec{c} = (6, 12, 15). \]

Проверим, существует ли такой скаляр \( k \), что:

\[ (6, 12, 15) = k(2, 4, 5). \]

Найдем \( k \), начнем с первой компоненты:

\[ k = \frac{6}{2} = 3. \]

Теперь проверим, выполняется ли это значение для остальных компонент:

\[ \frac{12}{4} = 3, \quad \frac{15}{5} = 3. \]

Так как во всех случаях \( k = 3 \), векторы \( \vec{b} \) и \( \vec{c} \) коллинеарны.

Шаг 3: Проверим коллинеарность векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{c} \):

\[ \vec{a} = (0, 2, 1), \ \vec{c} = (6, 12, 15). \]

Проверим, существует ли скаляр \( k \), такой что:

\[ (6, 12, 15) = k(0, 2, 1). \]

Попробуем найти \( k \) из второй компоненты:

\[ k = \frac{12}{2} = 6. \]

Теперь проверим для остальных компонент:

• Для первой компоненты: \( \frac{6}{0} \) не определено (опять деление на ноль), что означает, что условие коллинеарности нарушено. Соответственно, векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{c} \) не являются коллинеарными.

Вывод: Коллинеарные векторы: \( \vec{b} \) и \( \vec{c} \).