Определить, какие из произведений матриц существуют

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Матрицы и операции над ними

Задача:

Необходимо определить, какие из произведений матриц ( A \cdot B ) и ( B \cdot A ) существуют.

Для существования произведения матриц необходимо, чтобы число столбцов первой матрицы совпадало с числом строк второй матрицы.

Решение:

a)

Матрица ( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix} ) имеет размер ( 2 \times 2 ).
Матрица ( B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ) имеет размер ( 2 \times 3 ).

1. Проверим ( A \cdot B ):
   Число столбцов матрицы ( A ) равно 2, что совпадает с числом строк матрицы ( B ). Значит, произведение ( A \cdot B ) существует.
   Размер результата: ( 2 \times 3 ).

2. Проверим ( B \cdot A ):
   Число столбцов матрицы ( B ) равно 3, а число строк матрицы ( A ) равно 2. Эти размеры не совпадают, поэтому произведение ( B \cdot A ) не существует.

b)

Матрица ( A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} ) имеет размер ( 2 \times 3 ).
Матрица ( B = \begin{pmatrix} 0 & 3 \ 1 & 1 \ 1 & 1 \end{pmatrix} ) имеет размер ( 3 \times 2 ).

1. Проверим ( A \cdot B ):
   Число столбцов матрицы ( A ) равно 3, что совпадает с числом строк матрицы ( B ). Значит, произведение ( A \cdot B ) существует.
   Размер результата: ( 2 \times 2 ).

2. Проверим ( B \cdot A ):
   Число столбцов матрицы ( B ) равно 2, а число строк матрицы ( A ) равно 2. Эти размеры не совпадают, поэтому произведение ( B \cdot A ) не существует.

c)

Матрица ( A = \begin{pmatrix} 0 & 2 \ 1 & 0 \ 1 & 3 \end{pmatrix} ) имеет размер ( 3 \times 2 ).
Матрица ( B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ) имеет размер ( 3 \times 3 ).

1. Проверим ( A \cdot B ):
   Число столбцов матрицы ( A ) равно 2, а число строк матрицы ( B ) равно 3. Эти размеры не совпадают, поэтому произведение ( A \cdot B ) не существует.

2. Проверим ( B \cdot A ):
   Число столбцов матрицы ( B ) равно 3, что совпадает с числом строк матрицы ( A ). Значит, произведение ( B \cdot A ) существует.
   Размер результата: ( 3 \times 2 ).

d)

Матрица ( A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \ 2 & 5 \end{pmatrix} ) имеет размер ( 2 \times 2 ).
Матрица ( B = \begin{pmatrix} 3 & -2 \ 5 & -4 \end{pmatrix} ) имеет размер ( 2 \times 2 ).

1. Проверим ( A \cdot B ):
   Число столбцов матрицы ( A ) равно 2, что совпадает с числом строк матрицы ( B ). Значит, произведение ( A \cdot B ) существует.
   Размер результата: ( 2 \times 2 ).

2. Проверим ( B \cdot A ):
   Число столбцов матрицы ( B ) равно 2, что совпадает с числом строк матрицы ( A ). Значит, произведение ( B \cdot A ) существует.
   Размер результата: ( 2 \times 2 ).

Ответ:

1. ( a) ) ( A \cdot B ) существует, ( B \cdot A ) не существует.
2. ( b) ) ( A \cdot B ) существует, ( B \cdot A ) не существует.
3. ( c) ) ( A \cdot B ) не существует, ( B \cdot A ) существует.
4. ( d) ) ( A \cdot B ) существует, ( B \cdot A ) существует.