Определить какие из приведенных ниже интегралов вычисляются с помощью формулы интегрирования по частям

Условие:

Какие из приведенных ниже интегралов вычисляются с помощью формулы интегрирования по частям?

Решение:

Этот вопрос относится к математическому анализу и требует определения, какие интегралы могут быть вычислены с помощью формулы интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Посмотрим на каждый из приведенных интегралов, чтобы определить, можно ли их вычислить с помощью этой формулы: 1. \(\int \tan(2x) \, dx\) - Этот интеграл обычно не решается с помощью интегрирования по частям. Для него применяются другие методы интегрирования, например, замена переменных. 2. \(\int x \cos(4x) \, dx\) - Этот интеграл подходит для интегрирования по частям. Выбираем \(u = x\) и \(dv = \cos(4x) \, dx\). Тогда \(du = dx\) и \(v = \int \cos(4x) \, dx = \frac{1}{4} \sin(4x)\). 3. \(\int \cos^3(x) \, dx\) - Этот интеграл можно решать через преобразование тригонометрических функций и последующее интегрирование, но интегрирование по частям здесь не требуется. 4. \(\int \cos(4x) \, dx\) - Этот интеграл решается напрямую, используя стандартные интегралы, здесь интегрирование по частям не требуется. 5. \(\int \cos^2(x) \, dx\) - Этот интеграл можно решить с использованием тригонометрических тождеств, но он не требует интегрирования по частям. Таким образом, из приведенных интегралов только интеграл под номером 2 \(\int x \cos(4x) \, dx\) вычисляется с помощью формулы интегрирования по частям. Ответ: 2.