Определить, какие из данных преобразований линейные

Условие:

решить

Решение:

Задание относится к предмету "Линейная алгебра" и разделу "Линейные преобразования". Чтобы определить, какие из данных преобразований линейные, нужно проверить следующие свойства линейности: 1. Аддитивность: \(T(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = T(\mathbf{x}) + T(\mathbf{y})\) 2. Однородность: \(T(c\mathbf{x}) = cT(\mathbf{x})\) Рассмотрим каждое из данных преобразований: 1. \( A(x) = (x_1 - 2x_2, x_2 + x_3, 3x_1) \) 2. \( B(x) = (3x_3, 3x_1, -x_2) \) 3. \( C(x) = (x_1 \cdot x_2, x_2, x_3, x_1) \) ### Проверка \( A(x) \) 1. Аддитивность: Пусть \(\mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3)\) и \(\mathbf{y} = (y_1, y_2, y_3)\). \[ \mathbf{x} + \mathbf{y} = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, x_3 + y_3) \] \[ A(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = ( (x_1 + y_1) - 2(x_2 + y_2), (x_2 + y_2) + (x_3 + y_3), 3(x_1 + y_1) ) \] \[ A(\mathbf{x}) = (x_1 - 2x_2, x_2 + x_3, 3x_1) \] \[ A(\mathbf{y}) = (y_1 - 2y_2, y_2 + y_3, 3y_1) \] \[ A(\mathbf{x}) + A(\mathbf{y}) = ( (x_1 - 2x_2) + (y_1 - 2y_2), (x_2 + x_3) + (y_2 + y_3), 3x_1 + 3y_1 ) \] \[ = ((x_1 + y_1) - 2(x_2 + y_2), (x_2 + x_3) + (y_2 + y_3), 3(x_1 + y_1)) \] Соответствует \( A(\mathbf{x} + \mathbf{y}) \). Свойство аддитивности соблюдается. 2. Однородность: Пусть \( c\ - константа \). \[ A(c \mathbf{x}) = (c x_1, -2c x_2, c x_2 + c x_3, 3c x_1 ) \] \[ c A(\mathbf{x}) = c(x_1 - 2x_2, x_2 + x_3, 3x_1 ) = (c x_1 - 2c x_2, c x_2 + c x_3, 3c x_1 ) \] Соответствует \( A(c \mathbf{x}) \). Свойство однородности соблюдается. Примечание: \( A(x) \ определенно линейно. ### Проверка \( B(x) \) 1. Аддитивность: \[ B(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = (3(x_3 + y_3), 3(x_1 + y_1) - (x_2 + y_2) \] \[ B(\mathbf{x}) = (3x_3, 3x_1 - x_2) \] \[ B(\mathbf{y}) = (3y_3, 3y_1 - y_2) \] \[ B(\mathbf{x}) + B(\mathbf{y}) = (3x_3 + 3y_3, 3x_1 - x_2 + 3y_1 - y_2) = (3(x_3 + y_3), 3(x_1 + y_1) - (x_2 + y_2) ) \] Соответствует \( B(\mathbf{x} + \mathbf{y}) \). Свойство аддарывения соблюдается. 2. Однородность: \[ B(c \mathbf{x}) = (3c x_3, 3c x_1 - c x_2 \] \[ c B(\mathbf{x}) = c(3x_3, 3x_1 - x_2) = 3c x_3, 3c x_1 - c x_2 \] Соответствует \( B(x) \). Свойство однородности соблюдается . Примечание: \( B(x) \ определенно линейно. ### Проверка \( C(x) \) 1. Аддитивность: \[ C(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = ((x_1 + y_1)(x_2 + y_2), x_2 + y_3, x_1 + y_1 ) \] \[ C(\mathbf{x}) = (x_1 x_2, x_2, x_1) \] \[ C(\mathbf{y}) = (y_1 y_2, y_2, y_1) \] \[ C(\mathbf{x}) + C(\mathbf{y}) = (x_1 x_2 + y_1 y_2, x_2 + y_2, x_1 + y_1 ) \] Здесь очевидно, что \(( x_1 + y_1)(x_2 + y_2) \ не равно \ x_1 y_2 + y_1 y_2, Следовательно аддитивность или лобитность не соблюдаются. Примечание: \( C(x) \ не линейно. ### Ответ: Линейными являются преобразования \ A(x) \ и \ B(x) .