Определить, какие из данных преобразований линейные

Задание относится к предмету "Линейная алгебра" и разделу "Линейные преобразования"

Чтобы определить, какие из данных преобразований линейные, нужно проверить следующие свойства линейности:

1. Аддитивность: \(T(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = T(\mathbf{x}) + T(\mathbf{y})\)
2. Однородность: \(T(c\mathbf{x}) = cT(\mathbf{x})\)

Рассмотрим каждое из данных преобразований:

1. \( A(x) = (x_1 - 2x_2, x_2 + x_3, 3x_1) \)
2. \( B(x) = (3x_3, 3x_1, -x_2) \)
3. \( C(x) = (x_1 \cdot x_2, x_2, x_3, x_1) \)

Проверка \( A(x) \)

1. Аддитивность: Пусть \( \mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3) \) и \( \mathbf{y} = (y_1, y_2, y_3) \).

   \( \mathbf{x} + \mathbf{y} = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, x_3 + y_3) \)
   \( A(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = ( (x_1 + y_1) - 2(x_2 + y_2), (x_2 + y_2) + (x_3 + y_3), 3(x_1 + y_1) ) \)
   \( A(\mathbf{x}) = (x_1 - 2x_2, x_2 + x_3, 3x_1) \)
   \( A(\mathbf{y}) = (y_1 - 2y_2, y_2 + y_3, 3y_1) \)
   \( A(\mathbf{x}) + A(\mathbf{y}) = ( (x_1 - 2x_2) + (y_1 - 2y_2), (x_2 + x_3) + (y_2 + y_3), 3x_1 + 3y_1 ) \)
   \( = ((x_1 + y_1) - 2(x_2 + y_2), (x_2 + x_3) + (y_2 + y_3), 3(x_1 + y_1)) \)
   

   Соответствует \( A(\mathbf{x} + \mathbf{y}) \). Свойство аддитивности соблюдается.
2. Однородность: Пусть \( c \) - константа.

   \( A(c \mathbf{x}) = (c x_1 - 2c x_2, c x_2 + c x_3, 3c x_1 ) \)
   \( c A(\mathbf{x}) = c(x_1 - 2x_2, x_2 + x_3, 3x_1 ) = (c x_1 - 2c x_2, c x_2 + c x_3, 3c x_1 ) \)
   

   Соответствует \( A(c \mathbf{x}) \). Свойство однородности соблюдается.

Примечание: \( A(x) \) определенно линейно.

Проверка \( B(x) \)

1. Аддитивность:

   \( B(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = (3(x_3 + y_3), 3(x_1 + y_1) - (x_2 + y_2) \)
   \( B(\mathbf{x}) = (3x_3, 3x_1 - x_2) \)
   \( B(\mathbf{y}) = (3y_3, 3y_1 - y_2) \)
   \( B(\mathbf{x}) + B(\mathbf{y}) = (3x_3 + 3y_3, 3x_1 - x_2 + 3y_1 - y_2) = (3(x_3 + y_3), 3(x_1 + y_1) - (x_2 + y_2) ) \)
   

   Соответствует \( B(\mathbf{x} + \mathbf{y}) \). Свойство аддитивности соблюдается.
2. Однородность:

   \( B(c \mathbf{x}) = (3c x_3, 3c x_1 - c x_2) \)
   \( c B(\mathbf{x}) = c(3x_3, 3x_1 - x_2) = (3c x_3, 3c x_1 - c x_2) \)
   

   Соответствует \( B(c \mathbf{x}) \). Свойство однородности соблюдается.

Примечание: \( B(x) \) определенно линейно.

Проверка \( C(x) \)

1. Аддитивность:

   \( C(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = ((x_1 + y_1)(x_2 + y_2), x_2 + y_2, x_1 + y_1 ) \)
   \( C(\mathbf{x}) = (x_1 x_2, x_2, x_1) \)
   \( C(\mathbf{y}) = (y_1 y_2, y_2, y_1) \)
   \( C(\mathbf{x}) + C(\mathbf{y}) = (x_1 x_2 + y_1 y_2, x_2 + y_2, x_1 + y_1 ) \)
   Здесь очевидно, что \( (x_1 + y_1)(x_2 + y_2) \) не равно \( x_1 x_2 + y_1 y_2 \), следовательно, аддитивность не соблюдается.
   

Примечание: \( C(x) \) не линейно.

Ответ: Линейными являются преобразования \( A(x) \) и \( B(x) \).