Определить, какая из предложенных матриц может быть такой, чтобы произведение существовало

Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Матрицы и операции над ними

Задание: Определить, какая из предложенных матриц ( B ) может быть такой, чтобы произведение ( AB ) существовало.

Для выполнения задания нужно учитывать правила умножения матриц. Матрица ( A ) имеет размерность ( 2 \times 3 ) (2 строки, 3 столбца), так как она задана в виде:

 A = \begin{pmatrix} 7 & 1 & 2 \ 3 & 0 & 5 \end{pmatrix}. 

Чтобы произведение ( AB ) существовало, количество столбцов матрицы ( A ) (в данном случае 3) должно совпадать с количеством строк матрицы ( B ). Таким образом, матрица ( B ) должна иметь размерность ( 3 \times n ), где ( n ) — любое натуральное число.

Рассмотрим предложенные варианты:

1. ( B = \begin{pmatrix} 1 & -2 \ 4 & 0 \ 7 & 3 \end{pmatrix} )
   Размерность: ( 3 \times 2 ).
   Количество строк ( B = 3 ), совпадает с количеством столбцов ( A = 3 ). Умножение возможно.

2. ( B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \ 0 & -1 & 4 \end{pmatrix} )
   Размерность: ( 2 \times 3 ).
   Количество строк ( B = 2 ), не совпадает с количеством столбцов ( A = 3 ). Умножение невозможно.

3. ( B = \begin{pmatrix} -2 & 1 \ 5 & 3 \end{pmatrix} )
   Размерность: ( 2 \times 2 ).
   Количество строк ( B = 2 ), не совпадает с количеством столбцов ( A = 3 ). Умножение невозможно.

4. ( B = \begin{pmatrix} 5 & 6 & 1 \end{pmatrix} )
   Размерность: ( 1 \times 3 ).
   Количество строк ( B = 1 ), не совпадает с количеством столбцов ( A = 3 ). Умножение невозможно.

Вывод: Матрицей ( B ) может быть только матрица из варианта 1:

 B = \begin{pmatrix} 1 & -2 \ 4 & 0 \ 7 & 3 \end{pmatrix}.