Определить главный угловой минор 3-го порядка для матрицы этой квадратичной формы

Это задание по линейной алгебре, в разделе "Квадратичные формы и их матрицы".

Квадратичная форма, заданная в задании, имеет вид: \( x_{1}^2 - x_{3}^2 + 2x_{1}x_{2} \) Чтобы определить главный угловой минор 3-го порядка для матрицы этой квадратичной формы, нужно сначала найти саму матрицу квадратичной формы и затем вычислить её определитель (детерминант).

1. Запишем квадратичную форму в матричном виде: \[ Q(x) = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \]
2. Для квадратичной формы \( x_{1}^2 - x_{3}^2 + 2x_{1}x_{2} \) матрица будет следующей: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \] Это связано с тем, что коэффициенты при \( x_1^2 \), \( x_2^2 \) и \( x_3^2 \) являются элементами на диагонали, а коэффициенты при \( x_1 x_2 \) и подобных парных произведениях (например, \( 2 \) при \( 2x_1x_2 \)) распределяются вне диагонали.
3. Теперь нам нужно найти определитель этой матрицы (главный угловой минор 3-го порядка): \[ \det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{vmatrix} \] Расчитаем определитель методом разложения по строке или столбцу. Для простоты, разложим по третьему столбцу: \[ \det(A) = (-1) \cdot \det\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \] Теперь находим определитель 2x2 матрицы: \[ \det\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = (1 \cdot 0) - (1 \cdot 1) = -1 \] Следовательно: \[ \det(A) = -1 \cdot (-1) = 1 \] Таким образом, главный угловой минор 3-го порядка матрицы квадратичной формы равен 1.

Ответ: 1.