Определение положительной определенности квадратичной формы для некоторого параметра

Предмет: Высшая математика

Раздел: Квадратичные формы и определение их знакоположительности

Перед нами задача на определение положительной определенности квадратичной формы для некоторого параметра \( \lambda \).

Дана квадратичная форма:

\[ f(x_1, x_2, x_3) = 2x_1^2 + x_2^2 + 5x_3^2 + 2x_1x_2 - 2x_1x_3 + 4\lambda x_2x_3 \]

Шаг 1. Введение матричного вида

Любая квадратичная форма может быть записана в матричном виде:

\[ f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} \]

где \( \mathbf{x} \) — вектор переменных \( \mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3)^T \), а \( A \) — симметричная матрица, соответствующая данной квадратичной форме. Квадратичная форма состоит из квадратичных и смешанных произведений. Симметричные элементы матрицы \( A \) для смешанных членов должны быть учтены.

Заполним матрицу:

\[ f(x_1, x_2, x_3) = [x_1, x_2, x_3] \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 2\lambda \\ -1 & 2\lambda & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \]

Где:

• \( 2x_1^2 \) задает элемент \( A_{11} = 2 \),
• \( x_2^2 \) задает элемент \( A_{22} = 1 \),
• \( 5x_3^2 \) задает элемент \( A_{33} = 5 \),
• \( 2x_1x_2 \) задает элементы \( A_{12} = A_{21} = 1 \),
• \( -2x_1x_3 \) задает элементы \( A_{13} = A_{31} = -1 \),
• \( 4\lambda x_2x_3 \) задает элементы \( A_{23} = A_{32} = 2\lambda \).

Шаг 2. Необходимые условия положительной определенности

Для того чтобы квадратичная форма была положительно определена, необходимо, чтобы все главные миноры матрицы \( A \) были положительными.

Рассмотрим главные миноры \( A \):

• Первый минор (первый элемент на диагонали матрицы): \[ \Delta_1 = 2 > 0 \]
• Второй минор (детерминант 2x2 подматрицы): \[ \Delta_2 = \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 = 2 - 1 = 1 > 0 \]
• Третий минор — это детерминант самой матрицы \( A \):

\[ \Delta_3 = \det \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 2\lambda \\ -1 & 2\lambda & 5 \end{pmatrix} \]

Вычислим этот определитель разложением по первой строке:

\[ \Delta_3 = 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2\lambda \\ 2\lambda & 5 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2\lambda \\ -1 & 5 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2\lambda \end{vmatrix} \]

Найдем каждый из них:

1. \[ \begin{vmatrix} 1 & 2\lambda \\ 2\lambda & 5 \end{vmatrix} = 1 \cdot 5 - 2\lambda \cdot 2\lambda = 5 - 4\lambda^2 \]
2. \[ \begin{vmatrix} 1 & 2\lambda \\ -1 & 5 \end{vmatrix} = 1 \cdot 5 - 2\lambda \cdot (-1) = 5 + 2\lambda \]
3. \[ \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2\lambda \end{vmatrix} = 1 \cdot 2\lambda - 1 \cdot (-1) = 2\lambda + 1 \]

Теперь подставляем все в выражение для \( \Delta_3 \):

\[ \Delta_3 = 2(5 - 4\lambda^2) - (5+2\lambda) - (2\lambda+1) \]

\[ \Delta_3 = 2(5 - 4\lambda^2) - 5 - 2\lambda - 2\lambda - 1 = 10 - 8\lambda^2 - 6 - 4\lambda = 4 - 8\lambda^2 - 4\lambda \]

Шаг 3. Условия для положительной определенности

Для положительной определенности требуется, чтобы \( \Delta_3 > 0 \):

\[ 4 - 8\lambda^2 - 4\lambda > 0 \]

Разделим это выражение на 4:

\[ 1 - 2\lambda^2 - \lambda > 0 \]

Решаем квадратное неравенство:

\[ -2\lambda^2 - \lambda + 1 > 0 \]

Умножим на -1 (изменяем знак неравенства):

\[ 2\lambda^2 + \lambda - 1 < 0 \]

Решаем квадратное уравнение:

\[ \lambda = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4} \]

Получаем корни:

\[ \lambda_1 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad \lambda_2 = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \]

Шаг 4. Интервал для параметра \( \lambda \)

Квадратное неравенство \( 2\lambda^2 + \lambda - 1 < 0 \) выполняется на интервале между корнями:

\[ -1 < \lambda < \frac{1}{2} \]

Ответ:

Квадратичная форма положительно определена при \( \lambda \in (-1, \frac{1}{2}) \).