Определение квадратичной формы

Условие:

Решение:

Это задание по линейной алгебре и алгебре. Давайте разберем задачу. Задание: "Если для любого ненулевого вектора \(\mathbf{x}\) квадратичная форма \(L(\mathbf{x}) \leq 0\), то она:" Ответы на выбор: - Положительно определенная - Знакоопределенная - Неопределенная - Неположительная - Отрицательно определенная Квадратичная форма \( L(\mathbf{x}) \) имеет вид: \[ L(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} \] где \( \mathbf{x} \neq 0 \) и \( A \) — симметричная матрица. 1. **Положительно определенная**: \(\forall \mathbf{x} \quad L(\mathbf{x}) > 0\) Такая форма не подходит, так как \( L(\mathbf{x}) \leq 0 \). 2. **Знакоопределенная**: либо все значения положительные, либо все значения отрицательные. Это тоже не подходит, так как форма строго знакоопределенная не бывает неположительной. 3. **Неопределенная**: может быть как положительной, так и отрицательной в зависимости от \(\mathbf{x}\). Этот вариант не подходит, так как рассматривается условие \(\forall \mathbf{x} \quad L(\mathbf{x}) \leq 0 \). 4. **Неположительная**: \(\forall \mathbf{x} \quad L(\mathbf{x}) \leq 0 \) Этот вариант верен, так как удовлетворяет условию задачи. 5. **Отрицательно определенная**: \(\forall \mathbf{x} \quad L(\mathbf{x}) < 0 \) Такой вариант не подходит, так как \( L(\mathbf{x}) \leq 0 \) не означает, что \( L(\mathbf{x}) < 0 \) для всех \( \mathbf{x} \). Правильный ответ: **Неположительная** Таким образом, квадратичная форма \( L(\mathbf{x}) \) является неположительной, если для любого ненулевого вектора \(\mathbf{x}\) выполняется условие \( L(\mathbf{x}) \leq 0 \).