Определение квадратичной формы

Это задание по линейной алгебре и алгебре. Давайте разберем задачу.

Задание: "Если для любого ненулевого вектора \(\mathbf{x}\) квадратичная форма \(L(\mathbf{x}) \leq 0\), то она:"

Ответы на выбор:

• Положительно определенная
• Знакоопределенная
• Неопределенная
• Неположительная
• Отрицательно определенная

Квадратичная форма \( L(\mathbf{x}) \) имеет вид: \[ L(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} \] где \( \mathbf{x} \neq 0 \) и \( A \) — симметричная матрица.

1. Положительно определенная: \(\forall \mathbf{x} \quad L(\mathbf{x}) > 0\) Такая форма не подходит, так как \( L(\mathbf{x}) \leq 0 \).
2. Знакоопределенная: либо все значения положительные, либо все значения отрицательные. Это тоже не подходит, так как форма строго знакоопределенная не бывает неположительной.
3. Неопределенная: может быть как положительной, так и отрицательной в зависимости от \( \mathbf{x} \). Этот вариант не подходит, так как рассматривается условие \( \forall \mathbf{x} \quad L(\mathbf{x}) \leq 0 \).
4. Неположительная: \(\forall \mathbf{x} \quad L(\mathbf{x}) \leq 0 \) Этот вариант верен, так как удовлетворяет условию задачи.
5. Отрицательно определенная: \(\forall \mathbf{x} \quad L(\mathbf{x}) < 0 \) Такой вариант не подходит, так как \( L(\mathbf{x}) \leq 0 \) не означает, что \( L(\mathbf{x}) < 0 \) для всех \( \mathbf{x} \).

Правильный ответ: Неположительная

Таким образом, квадратичная форма \( L(\mathbf{x}) \) является неположительной, если для любого ненулевого вектора \( \mathbf{x} \) выполняется условие \( L(\mathbf{x}) \leq 0 \).