Определение главного углового минора 2-го порядка квадратичной формы

Условие:

решение

Решение:

Предмет: Линейная алгебра. Раздел: Квадратичные формы и матрицы. Задание: Определение главного углового минора 2-го порядка квадратичной формы \( x_1^2 - 2x_1x_2 - 2x_2^2 \). Квадратичную форму можно записать в виде матрицы: \[ x_1^2 - 2x_1x_2 - 2x_2^2 = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \] Здесь матрица квадратичной формы: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} \] Главный угловой минор 2-го порядка — это определитель этой матрицы \( A \): \[ M = \det(A) = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} \] Для нахождения определителя 2х2 матрицы \( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) используется формула: \[ \det = ad - bc \] Применим её: \[ M = 1 \cdot (-2) - (-1) \cdot (-1) = -2 - 1 = -3 \] Итак, значение минора равно: \[ \boxed{-3} \]