Определение главного углового минора 2-го порядка квадратичной формы

Предмет: Линейная алгебра.

Раздел: Квадратичные формы и матрицы.

Задание: Определение главного углового минора 2-го порядка квадратичной формы \( x_1^2 - 2x_1x_2 - 2x_2^2 \).

Квадратичную форму можно записать в виде матрицы: \[ x_1^2 - 2x_1x_2 - 2x_2^2 = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \]

Здесь матрица квадратичной формы: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} \]

Главный угловой минор 2-го порядка — это определитель этой матрицы \( A \): \[ M = \det(A) = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} \]

Для нахождения определителя 2x2 матрицы \(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) используется формула: \[ \det = ad - bc \]

Применим её: \[ M = 1 \cdot (-2) - (-1) \cdot (-1) = -2 - 1 = -3 \]

Итак, значение минора равно: \[\boxed{-3}\]