Нужно вычислить скалярное произведение

Предмет: Математика
Раздел: Векторная алгебра

Дано:
Векторы a и b взаимно перпендикулярны, то есть a \cdot b = 0.
Вектор c образует с векторами a и b угол 60°, то есть
a \cdot c = |a||c|\cos 60^\circ,
b \cdot c = |b||c|\cos 60^\circ.

Известно:
|a| = 3, \quad |b| = 5, \quad |c| = 3.

Нужно вычислить скалярное произведение:
(3a - 2b) \cdot (b + 3c).

Решение:

Раскроем скалярное произведение по дистрибутивности:
 (3a - 2b) \cdot (b + 3c) = 3a \cdot b + 9a \cdot c - 2b \cdot b - 6b \cdot c 

Подставим известные значения и условия:

1. a \cdot b = 0 (перпендикулярность), значит:
   3a \cdot b = 3 \times 0 = 0.

2. Вычислим a \cdot c:
   a \cdot c = |a||c|\cos 60^\circ = 3 \times 3 \times \frac{1}{2} = 4.5.

3. Вычислим b \cdot b (скалярное произведение вектора на самого себя — квадрат длины):
   b \cdot b = |b|^2 = 5^2 = 25.

4. Вычислим b \cdot c:
   b \cdot c = |b||c|\cos 60^\circ = 5 \times 3 \times \frac{1}{2} = 7.5.

Теперь подставим все в выражение:

 (3a - 2b) \cdot (b + 3c) = 0 + 9 \times 4.5 - 2 \times 25 - 6 \times 7.5 

Выполним вычисления:

 = 0 + 40.5 - 50 - 45 = 40.5 - 95 = -54.5 

Ответ:

(3a - 2b) \cdot (b + 3c) = -54.5.