Нужно определить, какая из представленных матриц может быть матрицей Грама

Условие:

Помогите решить с картинки

Решение:

Чтобы решить это задание, нужно определить, какая из представленных матриц может быть матрицей Грама. Матрица Грама (Gram matrix) для набора векторов $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n$ векторного пространства с скалярным произведением определяется как матрица, элементами которой являются скалярные произведения всех пар векторов. Матрица Грама всегда симметрична и положительно полуопределена. Таким образом, нам нужно найти симметричную матрицу. Рассмотрим предложенные матрицы: 1. \(\begin{pmatrix} 8 & 3 & 1 \\ 3 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\) 2. \(\begin{pmatrix} 8 & 3 & 1 \\ 3 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}\) 3. \(\begin{pmatrix} 3 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 1 \\ 4 & 1 & 2 \end{pmatrix}\) \(*\) 4. \(\begin{pmatrix} 4 & 2 & 7 \\ 2 & 1 & -1 \\ 7 & -1 & 5 \end{pmatrix}\) 5. \(\begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 3 & -1 & 5 \\ 4 & 5 & 2 \end{pmatrix}\) *Теперь проверим симметричность каждой матрицы.* 1. \(\begin{pmatrix} 8 & 3 & 1 \\ 3 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\) Симметрична. 2. \(\begin{pmatrix} 8 & 3 & 1 \\ 3 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}\) Несимметрична (0 ≠ -1). 3. \(\begin{pmatrix} 3 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 1 \\ 4 & 1 & 2 \end{pmatrix}\) Несимметрична (3 ≠ 4). 4. \(\begin{pmatrix} 4 & 2 & 7 \\ 2 & 1 & -1 \\ 7 & -1 & 5 \end{pmatrix}\) Симметрична (но нужно также проверить положительную полуопределенность). 5. \(\begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 3 & -1 & 5 \\ 4 & 5 & 2 \end{pmatrix}\) Несимметрична (3 ≠ 5; 1 ≠ -1). Таким образом, среди предложенных матриц симметричными являются только: - \(\begin{pmatrix} 8 & 3 & 1 \\ 3 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\) - \(\begin{pmatrix} 4 & 2 & 7 \\ 2 & 1 & -1 \\ 7 & -1 & 5 \end{pmatrix}\) Для каждого из них: - Матрица Грама должна быть положительно полуопределенной. ### Положительно полуопределенность: 1. \(\begin{pmatrix} 8 & 3 & 1 \\ 3 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\) Все её собственные значения неотрицательные, значит, матрица положительно полуопределенная. 2. \(\begin{pmatrix} 4 & 2 & 7 \\ 2 & 1 & -1 \\ 7 & -1 & 5 \end{pmatrix}\) Не все её собственные значения неотрицательные. Есть отрицательные. На основании вышеизложенного, правильный ответ: \(\begin{pmatrix} 8 & 3 & 1 \\ 3 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\). Эта матрица удовлетворяет всем критериям матрицы Грама.