Нужно определить, какая из представленных матриц может быть матрицей Грама

Условие:

Помогите решить с картинки

Решение:

Чтобы решить это задание, нужно определить, какая из представленных матриц может быть матрицей Грама.

Матрица Грама (Gram matrix) для набора векторов \(v1,v2,...,vn\) векторного пространства с скалярным произведением определяется как матрица, элементами которой являются скалярные произведения всех пар векторов. Матрица Грама всегда симметрична и положительно полуопределена. Таким образом, нам нужно найти симметричную матрицу. Рассмотрим предложенные матрицы:

  • 1. \((831320101)\)
  • 2. \((831320101)\)
  • 3. \((323221412)\)
  • 4. \((427211715)\)
  • 5. \((134315452)\)

Теперь проверим симметричность каждой матрицы.

  • 1. \((831320101)\) Симметрична.
  • 2. \((831320101)\) Несимметрична (0 ≠ -1).
  • 3. \((323221412)\) Несимметрична (3 ≠ 4).
  • 4. \((427211715)\) Симметрична (но нужно также проверить положительную полуопределенность).
  • 5. \((134315452)\) Несимметрична (3 ≠ 5; 1 ≠ -1).

Таким образом, среди предложенных матриц симметричными являются только:

  • - \((831320101)\)
  • - \((427211715)\)

Для каждого из них:

- Матрица Грама должна быть положительно полуопределенной.

Положительно полуопределенность:
  • 1. \((831320101)\) Все её собственные значения неотрицательные, значит, матрица положительно полуопределенная.
  • 2. \((427211715)\) Не все её собственные значения неотрицательные. Есть отрицательные.

На основании вышеизложенного, правильный ответ: \((831320101)\). Эта матрица удовлетворяет всем критериям матрицы Грама.

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Узнайте стоимость работы онлайн

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн
Напишем БЕСПЛАТНО любую работу за 30 минут