Нужно определить, какая из представленных матриц может быть матрицей Грама

Чтобы решить это задание, нужно определить, какая из представленных матриц может быть матрицей Грама.

Матрица Грама (Gram matrix) для набора векторов $\text{(}{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,...,{\mathbf{v}}_n\text{)}$ векторного пространства с скалярным произведением определяется как матрица, элементами которой являются скалярные произведения всех пар векторов. Матрица Грама всегда симметрична и положительно полуопределена. Таким образом, нам нужно найти симметричную матрицу. Рассмотрим предложенные матрицы:

• 1. $\text{(}\left(\begin{array}{ccc}8& 3& 1\\ 3& 2& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)\text{)}$
• 2. $\text{(}\left(\begin{array}{ccc}8& 3& 1\\ 3& 2& 0\\ 1& 0& -1\end{array}\right)\text{)}$
• 3. $\text{(}\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 3\\ 2& 2& 1\\ 4& 1& 2\end{array}\right)\text{)}$
• 4. $\text{(}\left(\begin{array}{ccc}4& 2& 7\\ 2& 1& -1\\ 7& -1& 5\end{array}\right)\text{)}$
• 5. $\text{(}\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 3& -1& 5\\ 4& 5& 2\end{array}\right)\text{)}$

Теперь проверим симметричность каждой матрицы.

• 1. $\text{(}\left(\begin{array}{ccc}8& 3& 1\\ 3& 2& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)\text{)}$ Симметрична.
• 2. $\text{(}\left(\begin{array}{ccc}8& 3& 1\\ 3& 2& 0\\ 1& 0& -1\end{array}\right)\text{)}$ Несимметрична (0 ≠ -1).
• 3. $\text{(}\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 3\\ 2& 2& 1\\ 4& 1& 2\end{array}\right)\text{)}$ Несимметрична (3 ≠ 4).
• 4. $\text{(}\left(\begin{array}{ccc}4& 2& 7\\ 2& 1& -1\\ 7& -1& 5\end{array}\right)\text{)}$ Симметрична (но нужно также проверить положительную полуопределенность).
• 5. $\text{(}\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 3& -1& 5\\ 4& 5& 2\end{array}\right)\text{)}$ Несимметрична (3 ≠ 5; 1 ≠ -1).

Таким образом, среди предложенных матриц симметричными являются только:

• - $\text{(}\left(\begin{array}{ccc}8& 3& 1\\ 3& 2& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)\text{)}$
• - $\text{(}\left(\begin{array}{ccc}4& 2& 7\\ 2& 1& -1\\ 7& -1& 5\end{array}\right)\text{)}$

Для каждого из них:

- Матрица Грама должна быть положительно полуопределенной.

Положительно полуопределенность:

• 1. $\text{(}\left(\begin{array}{ccc}8& 3& 1\\ 3& 2& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)\text{)}$ Все её собственные значения неотрицательные, значит, матрица положительно полуопределенная.
• 2. $\text{(}\left(\begin{array}{ccc}4& 2& 7\\ 2& 1& -1\\ 7& -1& 5\end{array}\right)\text{)}$ Не все её собственные значения неотрицательные. Есть отрицательные.

На основании вышеизложенного, правильный ответ: $\text{(}\left(\begin{array}{ccc}8& 3& 1\\ 3& 2& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)\text{)}$. Эта матрица удовлетворяет всем критериям матрицы Грама.