Необходимо разделить два многочлена способом деления столбиком

Предмет: Алгебра Раздел: Деление многочленов

У нас дано два многочлена: \( f(x) = 2x^5 + 3x^4 - x^3 + x^2 - 1 \) \( g(x) = x^3 + 2x +1 \) Необходимо разделить \( f(x) \) на \( g(x) \) способом деления столбиком.

Шаг 1: Находим первое неполное частное:

Сначала сравниваем старшие степени двух многочленов:

• У \( f(x) \) старшая степень — \( 5 \).
• У \( g(x) \) старшая степень — \( 3 \).

Поэтому первое частное будет \( \frac{2x^5}{x^3} = 2x^2 \).

Теперь умножаем многочлен \( g(x) \) на \( 2x^2 \) и вычитаем результат из \( f(x) \).

\[ 2x^2 \cdot g(x) = 2x^2 \cdot (x^3 + 2x + 1) = 2x^5 + 4x^3 + 2x^2 \]

Теперь вычтем это из \( f(x) \):

\[ (2x^5 + 3x^4 - x^3 + x^2 - 1) - (2x^5 + 4x^3 + 2x^2) = 3x^4 - 5x^3 - x^2 - 1 \]

Шаг 2: Находим следующее неполное частное

Теперь делим старший член \( 3x^4 \) на старший член \( x^3 \) из \( g(x) \):

\[ \frac{3x^4}{x^3} = 3x \]

Теперь умножаем \( g(x) \) на \( 3x \) и снова производим вычитание:

\[ 3x \cdot g(x) = 3x \cdot (x^3 + 2x + 1) = 3x^4 + 6x^2 + 3x \]

Вычитаем это из оставшегося многочлена \( 3x^4 - 5x^3 - x^2 - 1 \):

\[ (3x^4 - 5x^3 - x^2 - 1) - (3x^4 + 6x^2 + 3x) = -5x^3 - 7x^2 - 3x - 1 \]

Шаг 3: Находим следующее неполное частное

Теперь делим \( -5x^3 \) на старший член \( x^3 \):

\[ \frac{-5x^3}{x^3} = -5 \]

Теперь умножаем \( g(x) \) на \( -5 \):

\[ -5 \cdot g(x) = -5 \cdot (x^3 + 2x + 1) = -5x^3 - 10x - 5 \]

Производим итоговое вычитание:

\[ (-5x^3 - 7x^2 - 3x - 1) - (-5x^3 - 10x - 5) = -7x^2 + 7x + 4 \]

Ответ: Итогом деления является многочлен:

\[ q(x) = 2x^2 + 3x - 5 \]

Степень старшего члена этого многочлена — \( 2x^2 \), коэффициент при старшем члене равен \( \boxed{2} \).