Необходимо определить точки разрыва функции, построить общий график функции, а также схематические чертежи около точек разрыва

Исходное задание:

Необходимо определить точки разрыва функции, построить общий график функции, а также схематические чертежи около точек разрыва.

1. Определение предмета и раздела:

Это задание относится к математическому анализу, разделу исследования функций и их разрывов.

2. Введение. Понимание задачи.

Функция \( y(x) \) задана кусочно и имеет следующий вид:

\[ y(x) = \begin{cases} 2\sqrt{x}, & \text{если } 0 \leq x < 1, \\ 4 - 2x, & \text{если } 1 \leq x < 3, \\ -2, & \text{если } x \geq 3. \end{cases} \]

Нужно:

1. Определить точки разрыва (если они есть). Для этого проверяем поведение функции на границах между кусочками.
2. Построить график всей функции \( y(x) \).
3. Сделать отдельный схематический чертеж около найденных точек разрыва. Для этого уточним тип разрыва: разрыв первого рода (скачок) или разрыв второго рода (разрывные пределы или бесконечность).

3. Поиск точек разрыва.

Переход между кусками на \( x = 1 \):

• Рассмотрим односторонние пределы в точке \( x = 1 \):
• Слева (\( x \to 1^- \), используем \( 2\sqrt{x} \)):

\[ \lim\limits_{x \to 1^-} 2\sqrt{x} = 2\sqrt{1} = 2. \]

• Справа (\( x \to 1^+ \), используем \( 4 - 2x \)):

\[ \lim\limits_{x \to 1^+} (4 - 2x) = 4 - 2 \cdot 1 = 2. \]

• Значение функции в \( x = 1 \) не определено (тк в интервале указано \( 0 \leq x < 1 \), а далее \( 1 \leq x < 3 \)). Однако предельные значения слева и справа совпадают (\( \lim\limits_{x \to 1^-} = \lim\limits_{x \to 1^+} = 2 \)).
• Заключение: В точке \( x = 1 \) функция непрерывна.

Переход между кусками на \( x = 3 \):

• Рассмотрим односторонние пределы в точке \( x = 3 \):
• Слева (\( x \to 3^- \), используем \( 4 - 2x \)):

\[ \lim\limits_{x \to 3^-} (4 - 2x) = 4 - 2\cdot3 = -2. \]

• Справа (\( x \to 3^+ \), используем \(-2\)):

\[ \lim\limits_{x \to 3^+} (-2) = -2. \]

• Точка входит в интервал \( x \geq 3 \). Значение функции при \( x = 3 \) также равно \(-2\).
• Заключение: В точке \( x = 3 \) функция непрерывна.

4. Вывод по разрывам функции.

Функция не имеет точек разрыва, так как на всех переходах \( x = 1 \) и \( x = 3 \) пределы совпадают, и функция непрерывна.

5. Построение графика функции.

Чертеж всей функции:

Разберем каждый кусок отдельно:

1. \( y = 2\sqrt{x}, \; 0 \leq x < 1 \):
   • Здесь \( y(x) \) является частью корневой функции \( 2\sqrt{x} \), определённой на отрезке \( [0, 1) \).
   • Значения:
     • В начале (\( x = 0 \)): \( y = 2\sqrt{0} = 0 \).
     • Вблизи \( x = 1 \): \( y = 2\sqrt{1} = 2 \).
2. \( y = 4 - 2x, \; 1 \leq x < 3 \):
   • Это убывающая линейная функция с началом (\( x = 1 \): \( y = 4 - 2 \cdot 1 = 2 \)) и концом (\( x = 3 \): \( y = 4 - 2 \cdot 3 = -2 \)).
3. \( y = -2, \; x \geq 3 \):
   • Это горизонтальная линия на уровне \( y = -2 \), начиная с точки \( x = 3 \).

График:

С помощью графика: Построим точки и соединим:

• Участок \( 2\sqrt{x} \): плавно растёт от \( (0, 0) \) до \( (1, 2) \).
• Участок \( 4 - 2x \): прямая линия от \( (1, 2) \) до \( (3, -2) \).
• Участок \(-2\): горизонтальная линия от точки \( (3, -2) \).

6. Схематический чертеж около точек перехода.

1. Около \( x = 1 \):
   • Для \( x < 1 \): \( y = 2\sqrt{x},\; \lim\limits_{x \to 1^-} = 2 \).
   • Для \( x > 1 \): \( y = 4 - 2x,\; \lim\limits_{x \to 1^+} = 2 \).
   • Поведение: гладкий переход. Схема:

   x-axis: ↓ → 
   y-axis: / -----
   

2. Около \( x = 3 \):
   • Для \( x < 3 \): \( y = 4 - 2x,\; \lim\limits_{x \to 3^-} = -2 \).
   • При \( x \geq 3 \): \( y = -2 \), \(\lim\limits_{x \to 3^+} = -2 \).
   • Поведение: гладкий переход.

Итог:

Функция непрерывна на всём своём определении \[ [0, \infty) \]. Разрывов нет.