Необходимо найти скалярное произведение

Определение предмета и раздела

Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Скалярное произведение векторов

Дано:

Векторы:
a = \alpha t + \beta p
b = \gamma t + \delta p

Необходимо найти скалярное произведение:
(ha + ub) \cdot (va + tb)

Решение:

Подставим выражения для векторов:

(h(\alpha t + \beta p) + u(\gamma t + \delta p)) \cdot (v(\alpha t + \beta p) + t(\gamma t + \delta p))

Распишем:

(h\alpha t + h\beta p + u\gamma t + u\delta p) \cdot (v\alpha t + v\beta p + t\gamma t + t\delta p)

Группируем по векторам:

((h\alpha + u\gamma) t + (h\beta + u\delta) p) \cdot ((v\alpha + t\gamma) t + (v\beta + t\delta) p)

Теперь воспользуемся свойством скалярного произведения:

(A t + B p) \cdot (C t + D p) = A C (t \cdot t) + A D (t \cdot p) + B C (p \cdot t) + B D (p \cdot p)

Так как t \cdot p = 0 (если t и p ортогональны), то остается:

(h\alpha + u\gamma)(v\alpha + t\gamma) t \cdot t + (h\beta + u\delta)(v\beta + t\delta) p \cdot p

Подставляем t \cdot t = 1 и p \cdot p = 1:

(h\alpha + u\gamma)(v\alpha + t\gamma) + (h\beta + u\delta)(v\beta + t\delta)

Ответ:

(h\alpha + u\gamma)(v\alpha + t\gamma) + (h\beta + u\delta)(v\beta + t\delta)