Найти значение выражения

Предмет: Математика

Раздел: Векторная алгебра

Дано уравнение:
|a + b - c|^2 + |a - b + c|^2 + |a + b + c|^2 + |a - b - c|^2 = 20

Требуется найти значение выражения:
|a|^2 + |b|^2 + |c|^2

Решение:

Используем свойство нормы вектора:
|v|^2 = v \cdot v,
где "·" обозначает скалярное произведение.

Раскрываем квадраты норм:
|a + b - c|^2 = (a + b - c) \cdot (a + b - c)
|a - b + c|^2 = (a - b + c) \cdot (a - b + c)
|a + b + c|^2 = (a + b + c) \cdot (a + b + c)
|a - b - c|^2 = (a - b - c) \cdot (a - b - c)

Теперь раскрываем скалярные произведения:
 (a + b - c) \cdot (a + b - c) = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b - a \cdot c - b \cdot c) 
 (a - b + c) \cdot (a - b + c) = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot c - a \cdot b - b \cdot c) 
 (a + b + c) \cdot (a + b + c) = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c) 
 (a - b - c) \cdot (a - b - c) = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(-a \cdot b - a \cdot c + b \cdot c) 

Складываем все выражения:
 (|a|^2 + |b|^2 + |c|^2) + 2(a \cdot b - a \cdot c - b \cdot c) + (|a|^2 + |b|^2 + |c|^2) + 2(a \cdot c - a \cdot b - b \cdot c) + (|a|^2 + |b|^2 + |c|^2) + 2(a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c) + (|a|^2 + |b|^2 + |c|^2) + 2(-a \cdot b - a \cdot c + b \cdot c) = 20 

Замечаем, что все скалярные произведения взаимно уничтожаются:
2(a \cdot b - a \cdot c - b \cdot c) + 2(a \cdot c - a \cdot b - b \cdot c) + 2(a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c) + 2(-a \cdot b - a \cdot c + b \cdot c) = 0

Остается:
4(|a|^2 + |b|^2 + |c|^2) = 20

Следовательно,
|a|^2 + |b|^2 + |c|^2 = 5

Ответ:

5