Найти значение смешанного произведения векторов

Данный тип задачи относится к векторной алгебре, раздел математики "Векторные произведения".

Здесь требуется найти значение смешанного произведения векторов \( [\mathbf{p}; \mathbf{q}] \). По сути, это будет скалярное произведение векторного произведения вектора \(\mathbf{p}\) на \(\mathbf{q}\), выраженное через известные векторы \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\), их длины, а также угол между ними. Нам заданы следующие векторы:

\[\mathbf{p} = -2\mathbf{a} - 5\mathbf{b}, \quad \mathbf{q} = -4\mathbf{a} + 4\mathbf{b},\]

длины \( |\mathbf{a}| = \sqrt{3} \), \( |\mathbf{b}| = 3 \) и угол между \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) \(\angle(\mathbf{a}, \mathbf{b}) = 60^\circ\).

План решения:

1. Найдем векторное произведение \(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\).
2. Найдем смешанное произведение \( [\mathbf{p}; \mathbf{q}] = \mathbf{p} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \).

Шаг 1. Векторное произведение \(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\)

Воспользуемся формулой для модуля векторного произведения двух векторов:

\[ |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin \theta, \]

где \(\theta\) — угол между векторами \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\). Подставим известные данные:

\[ |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = \sqrt{3} \times 3 \times \sin 60^\circ = \sqrt{3} \times 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9}{2}. \]

Таким образом, модуль векторного произведения \(\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \frac{9}{2}\).

Шаг 2. Вычислим смешанное произведение \( [\mathbf{p}; \mathbf{q}] \)

Используем выражения для векторов \(\mathbf{p}\) и \(\mathbf{q}\):

\[\mathbf{p} = -2\mathbf{a} - 5\mathbf{b}, \quad \mathbf{q} = -4\mathbf{a} + 4\mathbf{b}.\]

Теперь мы можем вычислить смешанное произведение \( [\mathbf{p}; \mathbf{q}] \):

\[ [\mathbf{p}; \mathbf{q}] = (\mathbf{p}) \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b}). \]

Для этого разложим вектора по линейным комбинациям векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\). Мы знаем из свойств векторного произведения, что:

\[ \mathbf{a} \times \mathbf{a} = 0 \quad \text{и} \quad \mathbf{b} \times \mathbf{b} = 0, \]

и нужно учитывать только \(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\). Произведение можно расписать так:

\[ [\mathbf{p}; \mathbf{q}] = (-2\mathbf{a} - 5\mathbf{b}) \cdot [\mathbf{a} \times \mathbf{b}] \]

Термы с \(\mathbf{a} \times \mathbf{a}\) и \(\mathbf{b} \times \mathbf{b}\) сокращаются:

\[ [\mathbf{p}; \mathbf{q}] = (-2) \cdot (4) \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = -8 \cdot \left( \frac{9}{2} \right) = -36. \]

Ответ:

Значение смешанного произведения \( [\mathbf{p}; \mathbf{q}] = -36 \).