Найти значение параметра, при котором три вектора будут линейно зависимы

Это задание из раздела линейной алгебры, предмета — математика. Требуется найти значение параметра \( m \), при котором три вектора будут линейно зависимы. Даны три вектора: \[\vec{a} = \{1; -2\}, \quad \vec{b} = \{3; 10\}, \quad \vec{c} = \{m; 5\}.\]

Пояснение:

Векторы линейно зависимы, если существует такая линейная комбинация их координат, которая равна нулевому вектору, т.е. существуют такие числа \( \alpha, \beta, \gamma \) (не все равные нулю), что: \[\alpha \vec{a} + \beta \vec{b} + \gamma \vec{c} = 0.\] В нашем случае векторы даны в двумерном пространстве. Нам нужно найти значение \( m \), при котором векторы линейно зависимы.

Шаг 1: Построим систему уравнений

Координаты линейной комбинации равны нулю, то есть: \[\alpha (1, -2) + \beta (3, 10) + \gamma (m, 5) = (0, 0).\] Записываем это как систему уравнений по координатам:

1. \(\alpha \cdot 1 + \beta \cdot 3 + \gamma \cdot m = 0\),
2. \(-\alpha \cdot 2 + \beta \cdot 10 + \gamma \cdot 5 = 0\).

Шаг 2: Находим условие для линейной зависимости

Чтобы векторы были линейно зависимы, определитель матрицы, составленной из координат векторов \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \), должен быть равен нулю. Теперь вычислим определитель \( 2 \times 2 \)-матрицы, построенной из так: \[\text{det} \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 10 \\ m & 5 \end{vmatrix}\].