Найти значение параметра при котором квадратичная форма имеет ранг равный двум

Условие:

Решение:

Задание относится к предмету "Высшая математика", раздел - "Линейная алгебра", тема - "Квадратичные формы". Нас просят найти значение параметра \`m\`, при котором квадратичная форма \( x_1^2 - 2x_1x_2 + 4x_1x_3 + mx_2^2 \) имеет ранг равный двум. Квадратичная форма может быть представлена в виде \( \mathbf{x}^T \mathbf{A} \mathbf{x} \), где \(\mathbf{x}\) - вектор переменных, a \( \mathbf{A} \) - симметрическая матрица. Запишем матрицу \(\mathbf{A}\) для данной квадратичной формы: \[ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -1 & m & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] Теперь найдем ранг этой матрицы. Для этого воспользуемся методом определения для 3x3 матриц. \[ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -1 & m & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] Рассмотрим определитель данной матрицы: \[ \mathbf{det}(A) = 1 \cdot (m \cdot 0 - 0 \cdot 0) - (-1) \cdot (-1 \cdot 0 - 2 \cdot 0) + 2 \cdot (-1 \cdot 0 - m \cdot 2) \] \[ \mathbf{det}(A) = 0 + 0 - 2m \cdot 2 = -4m \] Определитель равен нулю, если \( m = 0 \). Это значит, что ранг матрицы равен двум, когда \( m \neq 0 \). Итак, правильный ответ: \[ m \neq 0 \]