Найти значение параметра при котором квадратичная форма имеет ранг равный двум

Задание относится к предмету "Высшая математика", раздел - "Линейная алгебра", тема - "Квадратичные формы".

Нас просят найти значение параметра $\text{(}m\text{)}$, при котором квадратичная форма $\text{(}{x}_1^2-2x_1{x}_2+4x_1{x}_3+m{x}_2^2\text{)}$ имеет ранг равный двум. Квадратичная форма может быть представлена в виде $\text{(}{\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}\text{)}$, где $\text{(}\mathbf{x}\text{)}$ - вектор переменных, a $\text{(}\mathbf{A}\text{)}$ - симметрическая матрица. Запишем матрицу $\text{(}\mathbf{A}\text{)}$ для данной квадратичной формы:

$\text{[}\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ -1& m& 0\\ 2& 0& 0\end{array}\right)\text{]}$

Теперь найдем ранг этой матрицы. Для этого воспользуемся методом определения для 3x3 матриц.

$\text{[}\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ -1& m& 0\\ 2& 0& 0\end{array}\right)\text{]}$

Рассмотрим определитель данной матрицы:

$\text{[}\mathbf{d}\mathbf{e}\mathbf{t}(A)=1\cdot (m\cdot 0-0\cdot 0)-(-1)\cdot (-1\cdot 0-2\cdot 0)+2\cdot (-1\cdot 0-m\cdot 2)\text{]}$

$\text{[}\mathbf{d}\mathbf{e}\mathbf{t}(A)=0+0-2m\cdot 2=-4m\text{]}$

Определитель равен нулю, если $\text{(}m=0\text{)}$. Это значит, что ранг матрицы равен двум, когда $\text{(}m\ne 0\text{)}$.

Итак, правильный ответ:

$\text{[}m\ne 0\text{]}$