Найти значение модулей векторных произведений с использованием величин

Предмет: Математика, раздел векторная алгебра.

Задание:

Необходимо найти значение модулей векторных произведений с использованием данных величин:

• | \vec{a} | = 1,
• | \vec{b} | = 2,
• угол между векторами \vec{a} и \vec{b} равен \frac{2\pi}{3}, то есть 120^\circ.

Начнем с пункта а) — найти | \vec{a} \times \vec{b} |.

Модуль векторного произведения двух векторов \vec{a} и \vec{b} рассчитывается по формуле:

| \vec{a} \times \vec{b} | = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \sin \theta,

где:

• | \vec{a} | = 1,
• | \vec{b} | = 2,
• \theta = 120^\circ = \frac{2\pi}{3}.

Используем таблицу значений синуса:

\sin 120^\circ = \sin \frac{2\pi}{3} = \sin \left( 180^\circ - 60^\circ \right) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}.

Теперь подставим известные значения в формулу:

| \vec{a} \times \vec{b} | = 1 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}.

Ответ для пункта а): \sqrt{3}.

Теперь пункт б) — необходимо найти значение модуля выражения | (2\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} + 2\vec{b}) |.

Для начала раскроем произведение:

(2\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} + 2\vec{b}) = 2\vec{a} \times \vec{a} + 2\vec{a} \times 2\vec{b} + \vec{b} \times \vec{a} + \vec{b} \times 2\vec{b}.

Теперь упростим выражение:

1. 2\vec{a} \times \vec{a} = 0 (векторное произведение любого вектора на себя равно нулю).
2. \vec{b} \times 2\vec{b} = 0 (по той же причине).
3. 2\vec{a} \times 2\vec{b} = 4(\vec{a} \times \vec{b}).
4. \vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b}) (свойство антикоммутативности векторного произведения).

Теперь подставим:

(2\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} + 2\vec{b}) = 4 (\vec{a} \times \vec{b}) - (\vec{a} \times \vec{b}) = 3 (\vec{a} \times \vec{b}).

Теперь найдём модуль этого произведения:

| 3 (\vec{a} \times \vec{b}) | = 3 | \vec{a} \times \vec{b} | = 3 \cdot \sqrt{3}.

Таким образом, полный ответ:

• а) \sqrt{3},
• б) 3\sqrt{3}.

Ответ для пункта б): 3\sqrt{3}.