Найти значение m, при котором квадратичная форма имеет ранг равный трём

Задание относится к предмету "Линейная алгебра" и разделу "Квадратичные формы".

Рассмотрим функцию: \[ f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 - 2x_1x_2 + 4x_1x_3 + mx_2^2 \] Необходимо найти значение \( m \), при котором квадратичная форма имеет ранг, равный трём. Для начала запишем квадратичную форму в матричной форме: \[ f(x) = x^T A x \] где \( x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \) и \( A \) - симметрическая матрица коэффициентов.

Проанализируем коэффициенты, стоящие при \( x_1, x_2, x_3 \) в исходной квадратичной форме: \[ x_1^2 \implies \text{коэффициент } A_{11} = 1 \] \[ -2x_1x_2 \implies \text{коэффициент } A_{12} = A_{21} = -1 \] \[ 4x_1x_3 \implies \text{коэффициент } A_{13} = A_{31} = 2 \] \[ mx_2^2 \implies \text{коэффициент } A_{22} = m \] \[ f \text{ отсутствуют компоненты при } x_3^2 и x_2x_3 \text{, значит } A_{33} = 0 \text{ и } A_{23} = 0 \] Таким образом, матрица \( A \) имеет вид: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -1 & m & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

Теперь найдем определитель и все ведущие миноры матрицы \( A \), чтобы определить её ранг.

1. Найдем минор первого порядка: \[ A_{11} = 1 \ne 0 \]
2. Найдем минор второго порядка: \[ M_2 = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & m \end{vmatrix} = 1 \cdot m - (-1) \cdot (-1) = m - 1 \]
3. Найдем определитель матрицы \( A \) (минор третьего порядка): \[ \det(A) = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -1 & m & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{vmatrix} \] Используем правило треугольника (разложение по элементам последней строки): \[ \det(A) = 2 \cdot \det \begin{vmatrix} -1 & m \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = 2 \cdot (-1 \cdot 0 - m \cdot 2) = 2 \cdot (-2m) = -4m \]

Матрица имеет ранг, равный трём, если все её миноры третьего порядка не равны нулю. Следовательно,: \[ -4m \ne 0 \implies m \ne 0 \] Ответ: \( m \ne 0 \)