Найти все значения параметра λ, при которых квадратичная форма положительно определена

Этот материал относится к разделу высшей математики, а именно к исследованию квадратичных форм и критериям положительной определенности.

Задание: Найти все значения параметра \( \lambda \), при которых квадратичная форма \( f(x_1, x_2, x_3) \) положительно определена.

Вариант 5: \[ f(x_1, x_2, x_3) = 2x_1^2 + 2x_2^2 + \lambda x_3^2 + 2\lambda x_1 x_2 + 6x_1 x_3 + 4x_2 x_3 \]

Для этого нужно воспользоваться критерием Сильвестра, который гласит, что квадратичная форма положительно определена, если все угловые миноры соответствующей ей матрицы положительны.

1. Сначала запишем квадратичную форму в матричном виде: \[ f(x) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} \] где \( \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \) и матрица \( A \) симметрична: \[ A = \begin{pmatrix} 2 & \lambda & 3 \\ \lambda & 2 & 2 \\ 3 & 2 & \lambda \end{pmatrix} \]
2. Найдем угловые миноры матрицы \( A \):
   • Миниор первого порядка: \[ A_1 = 2 \]
   • Миниор второго порядка: \[ A_2 = \begin{vmatrix} 2 & \lambda \\ \lambda & 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot 2 - \lambda \cdot \lambda = 4 - \lambda^2 \]
   • Миниор третьего порядка: \[ A_3 = \begin{vmatrix} 2 & \lambda & 3 \\ \lambda & 2 & 2 \\ 3 & 2 & \lambda \end{vmatrix} \] Вычислим детерминант \( A_3 \) разложением по первой строке: \[ \begin{vmatrix} 2 & \lambda & 3 \\ \lambda & 2 & 2 \\ 3 & 2 & \lambda \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 2 & \lambda \end{vmatrix} - \lambda \begin{vmatrix} \lambda & 2 \\ 3 & \lambda \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} \lambda & 2 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} \] Вычислим:
     • \( 2 \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 2 & \lambda \end{vmatrix} = 2(2 \lambda - 4) = 4 \lambda - 8 \)
     • \( - \lambda \begin{vmatrix} \lambda & 2 \\ 3 & \lambda \end{vmatrix} = - \lambda (\lambda^2 - 6) = - \lambda^3 + 6 \lambda \)
     • \( 3 \begin{vmatrix} \lambda & 2 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 3 (\lambda \cdot 2 - 6) = 6 \lambda - 18 \)

     Суммируем: \( A_3 = (4 \lambda - 8) - (\lambda^3 - 6 \lambda) + (6 \lambda - 18) = - \lambda^3 + 10 \lambda - 26 \)

3. Запишем условия критерия Сильвестра: \[ A_1 > 0, \quad A_2 > 0, \quad A_3 > 0 \] Для положительной определенности матрицы: \[ 2 > 0 \quad - выполнено \quad 4 - \lambda^2 > 0 \implies 4 > \lambda^2 \implies -2 < \lambda < 2 \] \[ - \lambda^3 + 10 \lambda - 26 > 0 \] При \(-2 < \lambda < 2\), рассмотрим \( - \lambda^3 + 10 \lambda - 26 \). Тут потребуется найти корни уравнения: \( - \lambda^3 + 10 \lambda - 26 = 0 \) Эти значения можно найти численными методами (например, методом Ньютона). Таким образом, значение \( \lambda \) для положительной определенности формы будет найдено тогда, когда все три условия выполнены одновременно.