Найти все значения параметра λ, при которых квадратичная форма положительно определена

Условие:

5 вариант

Решение:

Этот материал относится к разделу высшей математики, а именно к исследованию квадратичных форм и критериям положительной определенности. Задание: Найти все значения параметра λ, при которых квадратичная форма \( f(x_1, x_2, x_3) \) положительно определена. Вариант 5: \[ f(x_1, x_2, x_3) = 2x_1^2 + 2x_2^2 + \lambda x_3^2 + 2\lambda x_1 x_2 + 6x_1 x_3 + 4x_2 x_3 \] Для этого нужно воспользоваться критерием Сильвестра, который гласит, что квадратичная форма положительно определена, если все угловые миноры соответствующей ей матрицы положительны. 1. Сначала запишем квадратичную форму в матричном виде: \[ f(x) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} \] где \( \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \) и матрица \( A \) симметрична: \[ A = \begin{pmatrix} 2 & \lambda & 3 \\ \lambda & 2 & 2 \\ 3 & 2 & \lambda \end{pmatrix} \] 2. Найдем угловые миноры матрицы \( A \): Миниор первого порядка: \[ A_1 = 2 \] Миниор второго порядка: \[ A_2 = \begin{vmatrix} 2 & \lambda \\ \lambda & 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot 2 - \lambda \cdot \lambda = 4 - \lambda^2 \] Миниор третьего порядка: \[ A_3 = \begin{vmatrix} 2 & \lambda & 3 \\ \lambda & 2 & 2 \\ 3 & 2 & \lambda \end{vmatrix} \] Вычислим детерминант \( A_3 \) разложением по первой строке: \[ \begin{vmatrix} 2 & \lambda & 3 \\ \lambda & 2 & 2 \\ 3 & 2 & \lambda \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 2 & \lambda \end{vmatrix} - \lambda \begin{vmatrix} \lambda & 2 \\ 3 & \lambda \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} \lambda & 2 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} \] Вычислим: \[ 2 \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 2 & \lambda \end{vmatrix} = 2(2 \lambda - 4) = 4 \lambda - 8 \] \[ - \lambda \begin{vmatrix} \lambda & 2 \\ 3 & \lambda \end{vmatrix} = - \lambda (\lambda^2 - 6) = - \lambda^3 + 6 \lambda \] \[ 3 \begin{vmatrix} \lambda & 2 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 3 (\lambda \cdot 2 - 6) = 6 \lambda - 18 \] Суммируем: \[ A_3 = (4 \lambda - 8) - (\lambda^3 - 6 \lambda) + (6 \lambda - 18) = - \lambda^3 + 4 \lambda + 4 \lambda - 26 = - \lambda^3 + 10 \lambda - 26 \] 3. Запишем условия критерия Сильвестра: \[ A_1 > 0, \quad A_2 > 0, \quad A_3 > 0 \] Для положительной определенности матрицы: \[ 2 > 0 \quad - выполнено \] \[ 4 - \lambda^2 > 0 \implies 4 > \lambda^2 \implies -2 < \lambda < 2 \] \[ - \lambda^3 + 10 \lambda - 26 > 0 \] При \(-2 < \lambda < 2\), рассмотрим \( - \lambda^3 + 10 \lambda - 26 \). Тут потребуется найти корни уравнения: \[ - \lambda^3 + 10 \lambda - 26 = 0 \] Эти значения можно найти численными методами (например, методом Ньютона). Таким образом, значение λ для положительной определенности формы будет найдено тогда, когда все три условия выполнены одновременно.