Найти все значения лямбды, при которых квадратичная форма положительно определена

Условие:

Найти все значения лямбды, при которых квадратичная форма f(x1,x2,x3) положительно определена. f=x1^2+x2^2+5x3^2+2*лямбда*x2-2x1x3+4x2x3

Решение:

Это задание по линейной алгебре, раздел "Квадратичные формы и их определенность". Квадратичная форма \( f(x_1, x_2, x_3) \) задана следующим образом: \[ f = x_1^2 + x_2^2 + 5x_3^2 + 2\lambda x_2 - 2x_1x_3 + 4x_2x_3. \] Сначала запишем квадратичную форму в матричном виде. Пусть: \[ \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}. \] Квадратичная форма тогда может быть представлена в виде: \[ f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}, \] где \( A \) — симметрическая матрица, соответствующая этой квадратичной форме. Найдем элементы матрицы \( A \). Квадратичная форма: \[ x_1^2 + x_2^2 + 5x_3^2 + 2\lambda x_2 - 2x_1x_3 + 4x_2x_3 \] эквивалентна: \[ x_1^2 + x_2^2 + 5x_3^2 + 2\lambda x_2 + 2x_2x_3 - 2x_1x_3. \] Теперь распределим коэффициенты и выведем матрицу \( A \): \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 5 \end{pmatrix}. \] Для определения положительной определенности матрицы, нужно чтобы все её главные миноры были положительными. 1. Найдем первый главный минор (первый элемент по диагонали): \[ A_{11} = 1. \] Этот минор положителен. 2. Найдем второй главный минор (главный минор второго порядка): \[ \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1. \] Этот минор тоже положителен. 3. Найдем третий главный минор (главный минор третьего порядка): \[ \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 5 \end{vmatrix}. \] Для вычисления определителя третьего порядка используем метод разложения по строке или столбцу (удобнее всего - по первой строке): \[ \det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 5 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix}. \] Вычисляем определители второго порядка: \[ \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} = 1 \cdot 5 - 2 \cdot 2 = 5 - 4 = 1. \] \[ \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 0 \cdot 2 - 1 \cdot (-1) = 0 + 1 = 1. \] Тогда определитель будет равен: \[ \det(A) = 1 \cdot 1 - 0 + 1 \cdot 1 = 1 + 1 = 2, \] который также положителен. Таким образом, все главные миноры положительны, следовательно, квадратичная форма \( f(x_1, x_2, x_3) \) положительно определена для всех значений \(\lambda\).