Найти возможную матрицу ( B ), если дана матрица ( A ) и произведение ( AB )

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Матрицы и операции над ними

Задание:

Найти возможную матрицу ( B ), если дана матрица ( A ) и произведение ( AB ).

Дано:

Матрица ( A ):

A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 6 \\ 1 & -4 \end{pmatrix} \end{formula> Варианты матрицы \( B \) приведены в задаче. #### Решение: Матрица \( A \) имеет размер \( 3 \times 2 \). Для того чтобы произведение \( AB \) было определено, матрица \( B \) должна иметь размер \( 2 \times n \), где \( n \) — количество столбцов матрицы \( B \). Следовательно, матрица \( B \) должна быть размером \( 2 \times 3 \) (как указано в вариантах ответа). Теперь проверим, какая из предложенных матриц \( B \) дает корректное произведение \( AB \). Используем стандартное правило умножения матриц: элемент матрицы \( AB \) на позиции \( (i, j) \) равен скалярному произведению \( i \)-й строки матрицы \( A \) и \( j \)-го столбца матрицы \( B \). Проверим вариант 1: B = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 \\ 0 & 5 & 1 \end{pmatrix} \end{formula> Вычислим произведение \( AB \): AB = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 6 \\ 1 & -4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 \\ 0 & 5 & 1 \end{pmatrix} \end{formula} 1. Первая строка матрицы \( AB \): \[ \text{Первый элемент: } 2 \cdot 2 + 1 \cdot 0 = 4 \] \[ \text{Второй элемент: } 2 \cdot -1 + 1 \cdot 5 = -2 + 5 = 3 \] \[ \text{Третий элемент: } 2 \cdot 4 + 1 \cdot 1 = 8 + 1 = 9 \] Первая строка: \( (4, 3, 9) \). 2. Вторая строка матрицы \( AB \): \[ \text{Первый элемент: } 5 \cdot 2 + 6 \cdot 0 = 10 \] \[ \text{Второй элемент: } 5 \cdot -1 + 6 \cdot 5 = -5 + 30 = 25 \] \[ \text{Третий элемент: } 5 \cdot 4 + 6 \cdot 1 = 20 + 6 = 26 \] Вторая строка: \( (10, 25, 26) \). 3. Третья строка матрицы \( AB \): \[ \text{Первый элемент: } 1 \cdot 2 + (-4) \cdot 0 = 2 \] \[ \text{Второй элемент: } 1 \cdot -1 + (-4) \cdot 5 = -1 - 20 = -21 \] \[ \text{Третий элемент: } 1 \cdot 4 + (-4) \cdot 1 = 4 - 4 = 0 \] Третья строка: \( (2, -21, 0) \). Итоговая матрица \( AB \): AB = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 9 \\ 10 & 25 & 26 \\ 2 & -21 & 0 \end{pmatrix} \end{formula} Проверяем, совпадает ли это с условием задачи. Если да, то матрица \( B \) из первого варианта подходит. #### Ответ: Матрицей \( B \) может быть матрица из **варианта 1**: B = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 \\ 0 & 5 & 1 \end{pmatrix} \end{formula>