Найти вид квадратичной формы

Это задание по линейной алгебре, посвященное теме квадратичных форм и их преобразованию.

Нам дано преобразование для переменных \( x_1 \) и \( x_2 \): \[ \begin{cases} x_1 = y_1 - y_2 \\ x_2 = y_1 + y_2 \end{cases} \] и нужно найти вид квадратичной формы \( x_1^2 - x_2^2 + 2x_1 x_2 \) после подстановки этих переменных.

Давайте последовательно подставим значения \( x_1 \) и \( x_2 \) в заданную квадратичную форму.

1. Подставим \( x_1 = y_1 - y_2 \) и \( x_2 = y_1 + y_2 \): \[ x_1^2 - x_2^2 + 2x_1 x_2 = (y_1 - y_2)^2 - (y_1 + y_2)^2 + 2(y_1 - y_2)(y_1 + y_2) \]
2. Раскроем скобки: \[ (y_1 - y_2)^2 = y_1^2 - 2y_1 y_2 + y_2^2 \] \[ (y_1 + y_2)^2 = y_1^2 + 2y_1 y_2 + y_2^2 \]
3. Подставим эти результаты в уравнение: \[ x_1^2 - x_2^2 + 2x_1 x_2 = (y_1^2 - 2y_1 y_2 + y_2^2) - (y_1^2 + 2y_1 y_2 + y_2^2) + 2(y_1 - y_2)(y_1 + y_2) \]
4. Упростим выражение: \[ = y_1^2 - 2y_1 y_2 + y_2^2 - y_1^2 - 2y_1 y_2 - y_2^2 + 2(y_1^2 - y_2^2) \]
5. Объединим и упростим оставшиеся термины: \[ = -4y_1 y_2 + 2y_1^2 - 2y_2^2 \]

Таким образом, полученная квадратичная форма равна: \[ 2y_1^2 - 4y_1 y_2 - 2y_2^2 \]

Следовательно, правильный ответ в этом задании - это вариант: \[ \boxed{2y_1^2 - 4y_1 y_2 - 2y_2^2} \]