Найти вектор, удовлетворяющий следующим условиям

Данное задание относится к предмету линейная алгебра, а конкретно к разделу операции с векторами и скалярное произведение векторов.

Необходимо найти вектор \( \mathbf{x} = \{ x_1, x_2, x_3 \} \), удовлетворяющий следующим условиям:

1. \( (\mathbf{a}, \mathbf{x}) = 0 \)
2. \( (\mathbf{b}, \mathbf{x}) = -12 \)
3. \( (\mathbf{c}, \mathbf{x}) = -15 \)

Шаг 1: Запишем скалярные произведения

Скалярное произведение двух векторов \( \mathbf{u} = \{ u_1, u_2, u_3 \} \) и \( \mathbf{v} = \{ v_1, v_2, v_3 \} \) вычисляется по формуле:

\[ (\mathbf{u}, \mathbf{v}) = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 \]

Используя эту формулу, подставим в уравнения.

Для векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{x} \):

\[ (\mathbf{a}, \mathbf{x}) = -5x_1 - 3x_2 - 2x_3 = 0 \]

Для векторов \( \mathbf{b} \) и \( \mathbf{x} \):

\[ (\mathbf{b}, \mathbf{x}) = -1x_1 + 2x_2 - 2x_3 = -12 \]

Для векторов \( \mathbf{c} \) и \( \mathbf{x} \):

\[ (\mathbf{c}, \mathbf{x}) = -4x_1 + 3x_2 + 5x_3 = -15 \]

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \(-5x_1 - 3x_2 - 2x_3 = 0\)
2. \(-x_1 + 2x_2 - 2x_3 = -12\)
3. \(-4x_1 + 3x_2 + 5x_3 = -15\)

Шаг 2: Решим систему уравнений

Из первого уравнения:

\[ -5x_1 - 3x_2 - 2x_3 = 0 \]

Выразим \(x_1\) через \(x_2\) и \(x_3\):

\[ x_1 = \frac{-3x_2 - 2x_3}{5} \]

Подставим это выражение для \(x_1\) во второе и третье уравнения.

Во второе уравнение:

\[ -\left(\frac{-3x_2 - 2x_3}{5}\right) + 2x_2 - 2x_3 = -12 \]

Умножим всё на 5, чтобы избавиться от знаменателя:

\[ 3x_2 + 2x_3 + 10x_2 - 10x_3 = -60 \]

Соберем подобные:

\[ 13x_2 - 8x_3 = -60 \]

В третье уравнение:

\[ -4\left(\frac{-3x_2 - 2x_3}{5}\right) + 3x_2 + 5x_3 = -15 \]

Умножим всё на 5:

\[ 12x_2 + 8x_3 + 15x_2 + 25x_3 = -75 \]

Соберем подобные:

\[ 27x_2 + 33x_3 = -75 \]

Шаг 3: Решим полученную систему

Теперь решим систему двух уравнений:

1. \(13x_2 - 8x_3 = -60\)
2. \(27x_2 + 33x_3 = -75\)

Умножим первое уравнение на 33, а второе на 8, чтобы избавиться от переменной \(x_3\):

1. \(429x_2 - 264x_3 = -1980\)
2. \(216x_2 + 264x_3 = -600\)

Сложим эти уравнения:

\[ 429x_2 + 216x_2 = -1980 - 600 \]

\[ 645x_2 = -2580 \]

\[ x_2 = \frac{-2580}{645} = -4 \]

Теперь подставим \(x_2 = -4\) в одно из исходных уравнений для упрощения:

\[ 13(-4) - 8x_3 = -60 \]

\[ -52 - 8x_3 = -60 \]

\[ -8x_3 = -60 + 52 \]

\[ x_3 = 1 \]

Шаг 4: Найдём \(x_1\)

Теперь подставим значения \(x_2 = -4\) и \(x_3 = 1\) в выражение для \(x_1\):

Ответ: Вектор \( \mathbf{x} = \{ 2, -4, 1 \} \).

\[ x_1 = \frac{-3(-4) - 2(1)}{5} = \frac{12 - 2}{5} = \frac{10}{5} = 2 \]