Определим предмет и раздел. Это задание относится к математике, а конкретно к аналитической геометрии или векторной алгебре, так как речь идет о векторах и их модулях.
Задание:
Нужно найти условие, при котором выполняется равенство: \[ | \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} | \].
Разбор и поиск решения:
- Начнем с того, как вычисляется модуль суммы и разности векторов. Модуль вектора \( \vec{v} \) — это длина вектора и вычисляется по формуле: \[ | \vec{v} | = \sqrt{\vec{v} \cdot \vec{v}} = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \] Для удобства начнем с возведения обеих частей уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней, так как модуль каждого из векторов выражен через квадратный корень: \[ | \vec{a} + \vec{b} |^2 = | \vec{a} - \vec{b} |^2. \]
- Воспользуемся формулой для квадрата модулей суммы и разности векторов. Для векторов выполняются следующие тождества: \[ | \vec{a} + \vec{b} |^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + 2 (\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b} \] \[ | \vec{a} - \vec{b} |^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - 2 (\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b}. \]
- Теперь приравняем эти выражения: \[ \vec{a} \cdot \vec{a} + 2 (\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{a} - 2 (\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b}. \]
- Сократим одинаковые члены \( \vec{a} \cdot \vec{a} \) и \( \vec{b} \cdot \vec{b} \) по обеим сторонам: \[ 2 (\vec{a} \cdot \vec{b}) = -2 (\vec{a} \cdot \vec{b}). \]
- Переносим все на одну сторону: \[ 2 (\vec{a} \cdot \vec{b}) + 2 (\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0, \] \[ 4 (\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0. \]
- Получаем, что: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0. \]
Ответ и объяснение:
\( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) должны быть перпендикулярны, поскольку их скалярное произведение равно нулю. Это условие означает, что угол между векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) равен 90 градусам.
Вывод:
Условие, при котором выполняется равенство \( | \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} | \), — это перпендикулярность векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \).