Найти угол между векторами A1A2 и A1A3

Предмет: Математика
Раздел: Векторная алгебра

Дано: координаты вершин пирамиды:
A_1(2; -1; 3),
A_2(3; 4; 3),
A_3(1; -2; 5),
A_4(4; -4; -6).

Требуется найти угол между векторами \vec{A_1A_2} и \vec{A_1A_3}.

Шаг 1. Найдем координаты векторов \vec{A_1A_2} и \vec{A_1A_3}.

Координаты вектора \vec{A_1A_2} вычисляются по формуле:
\vec{A_1A_2} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1).

Подставим координаты точек A_1(2; -1; 3) и A_2(3; 4; 3):
\vec{A_1A_2} = (3 - 2; 4 - (-1); 3 - 3) = (1; 5; 0).

Аналогично найдем координаты вектора \vec{A_1A_3}:
\vec{A_1A_3} = (x_3 - x_1; y_3 - y_1; z_3 - z_1).

Подставим координаты точек A_1(2; -1; 3) и A_3(1; -2; 5):
\vec{A_1A_3} = (1 - 2; -2 - (-1); 5 - 3) = (-1; -1; 2).

Итак, координаты векторов:
\vec{A_1A_2} = (1; 5; 0),
\vec{A_1A_3} = (-1; -1; 2).

Шаг 2. Формула для вычисления угла между векторами.

Угол между векторами \vec{u} и \vec{v} находится по формуле:
\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|},
где:

• \vec{u} \cdot \vec{v} — скалярное произведение векторов,
• |\vec{u}| и |\vec{v}| — длины (модули) векторов.

Шаг 3. Найдем скалярное произведение \vec{A_1A_2} \cdot \vec{A_1A_3}.

Скалярное произведение двух векторов \vec{u} = (u_1; u_2; u_3) и \vec{v} = (v_1; v_2; v_3) вычисляется по формуле:
\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3.

Подставим координаты векторов \vec{A_1A_2} = (1; 5; 0) и \vec{A_1A_3} = (-1; -1; 2):
\vec{A_1A_2} \cdot \vec{A_1A_3} = 1 \cdot (-1) + 5 \cdot (-1) + 0 \cdot 2 = -1 - 5 + 0 = -6.

Итак, \vec{A_1A_2} \cdot \vec{A_1A_3} = -6.

Шаг 4. Найдем длины векторов |\vec{A_1A_2}| и |\vec{A_1A_3}|.

Длина вектора \vec{u} = (u_1; u_2; u_3) находится по формуле:
|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}.

Для вектора \vec{A_1A_2} = (1; 5; 0):
|\vec{A_1A_2}| = \sqrt{1^2 + 5^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 25 + 0} = \sqrt{26}.

Для вектора \vec{A_1A_3} = (-1; -1; 2):
|\vec{A_1A_3}| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}.

Итак, |\vec{A_1A_2}| = \sqrt{26} и |\vec{A_1A_3}| = \sqrt{6}.

Шаг 5. Найдем косинус угла между векторами.

Подставим все найденные значения в формулу для косинуса угла:
\cos \theta = \frac{\vec{A_1A_2} \cdot \vec{A_1A_3}}{|\vec{A_1A_2}| \cdot |\vec{A_1A_3}|}.

\cos \theta = \frac{-6}{\sqrt{26} \cdot \sqrt{6}} = \frac{-6}{\sqrt{156}} = \frac{-6}{2\sqrt{39}} = \frac{-3}{\sqrt{39}}.

Шаг 6. Найдем угол \theta.

\theta = \arccos\left(\frac{-3}{\sqrt{39}}\right).

Это значение можно оставить в таком виде, если требуется точный ответ. Если нужен численный ответ, то вычислим:
\theta \approx \arccos(-0.4809) \approx 118.79^\circ.

Ответ:

Угол между векторами \vec{A_1A_2} и \vec{A_1A_3} равен примерно 118.79^\circ.