Найти угол между векторами

Предмет: Векторная алгебра (линейная алгебра).

Раздел: Скалярное произведение векторов и угол между ними.

Условие:

Нам даны два вектора, которые заданы через линейные комбинации других векторов:

• \( \vec{a} = \{3; -1; 6\} \),
• \( \vec{b} = \{5; 7; 10\} \),
• \( \vec{p} = 4 \vec{a} - 2 \vec{b} \),
• \( \vec{q} = \vec{b} - 2 \vec{a} \).

Нужно найти угол между векторами \( \vec{p} \) и \( \vec{q} \).

Шаг 1: Найдем координаты векторов \( \vec{p} \) и \( \vec{q} \).

Вектор \( \vec{p} \):

\[\vec{p} = 4 \vec{a} - 2 \vec{b} \] Заменим координаты векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\):

\[\vec{p} = 4\{3; -1; 6\} - 2\{5; 7; 10\} \] Умножим вектора на числа:

\[4 \vec{a} = \{12; -4; 24\}, \]

\[-2 \vec{b} = \{-10; -14; -20\} \]

Теперь сложим полученные векторы:

\[\vec{p} = \{12 - 10; -4 - 14; 24 - 20\} = \{2; -18; 4\} \]

Вектор \( \vec{q} \):

\[\vec{q} = \vec{b} - 2 \vec{a} \] Подставим координаты:

\[\vec{q} = \{5; 7; 10\} - 2 \{3; -1; 6\} \] Вычислим:

\[2 \vec{a} = \{6; -2; 12\} \]

Теперь найдем \[\vec{q} = \{5 - 6; 7 - (-2); 10 - 12\} = \{-1; 9; -2\} \]

Шаг 2: Найдем скалярное произведение векторов \( \vec{p} \) и \( \vec{q} \).

Скалярное произведение двух векторов \( \vec{p} = \{p_1, p_2, p_3\} \) и \( \vec{q} = \{q_1, q_2, q_3\} \) вычисляется по формуле:

\[\vec{p} \cdot \vec{q} = p_1 q_1 + p_2 q_2 + p_3 q_3 \] Подставим координаты \( \vec{p} = \{2; -18; 4\} \) и \( \vec{q} = \{-1; 9; -2\} \):

\[\vec{p} \cdot \vec{q} = 2 \cdot (-1) + (-18) \cdot 9 + 4 \cdot (-2) \] Вычислим:

\[ = -2 - 162 - 8 = -172 \]

Шаг 3: Найдем длины векторов \( \vec{p} \) и \( \vec{q} \).

Длина вектора \( \vec{p} = \{p_1, p_2, p_3\} \) вычисляется по формуле:

\[|\vec{p}| = \sqrt{p_1^2 + p_2^2 + p_3^2}\] Для \( \vec{p} = \{2; -18; 4\} \):

\[|\vec{p}| = \sqrt{2^2 + (-18)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 324 + 16} = \sqrt{344}\]

Для \( \vec{q} = \{-1; 9; -2\} \):

\[|\vec{q}| = \sqrt{(-1)^2 + 9^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 81 + 4} = \sqrt{86}\]

Шаг 4: Найдем угол между векторами.

Угол \( \theta \) между векторами можно найти по формуле:

\[\cos \theta = \frac{\vec{p} \cdot \vec{q}}{|\vec{p}| |\vec{q}|}\] Подставим найденные значения:

\[\cos \theta = \frac{-172}{\sqrt{344} \cdot \sqrt{86}} = \frac{-172}{\sqrt{344 \cdot 86}} = \frac{-172}{\sqrt{29584}} = \frac{-172}{172} = -1\]

Шаг 5: Найдем угол.

Ответ: Угол между векторами \( \vec{p} \) и \( \vec{q} \) равен \( 180^\circ \).

Так как \( \cos \theta = -1 \), угол \( \theta \) равен \( 180^\circ \).