Найти угол между прямыми

Задание из области аналитической геометрии или линейной алгебры, где требуется найти угол между прямыми. Давайте разберём задание под номером 4:

Найти угол между прямыми \(\sqrt{3}x - y + 5 = 0\) и \(x - \sqrt{3}y - 5 = 0\).

Шаг 1. Запишем уравнения прямых.

Первое уравнение: \[\sqrt{3}x - y + 5 = 0\]

Приведём его к виду \(Ax + By + C = 0\) для удобства:

\[\sqrt{3}x - y = -5\]

Второе уравнение:

\[x - \sqrt{3}y - 5 = 0\]

Приведём его к виду \(Ax + By + C = 0\):

\[x - \sqrt{3}y = 5\]

Шаг 2. Найдём угловые коэффициенты этих прямых.

Мы можем выразить угловой коэффициент \(k\) для каждой прямой как \(k = -\frac{A}{B}\), где \(Ax + By + C = 0\).

1. Для первой прямой \(\sqrt{3}x - y = -5\):

   \[A_1 = \sqrt{3}, \, B_1 = -1\]

   Угловой коэффициент \(k_1 = -\frac{A_1}{B_1} = -\frac{\sqrt{3}}{-1} = \sqrt{3}\).

2. Для второй прямой \(x - \sqrt{3}y = 5\):

   \[A_2 = 1, \, B_2 = -\sqrt{3}\]

   Угловой коэффициент \(k_2 = -\frac{A_2}{B_2} = -\frac{1}{-\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\).

Шаг 3. Найдём угол между прямыми.

Формула для нахождения угла между прямыми с известными угловыми коэффициентами \(k_1\) и \(k_2\) выглядит так:

\[\tan{\theta} = \left| \frac{k_1 - k_2}{1 + k_1 k_2} \right|\]

Подставим найденные значения \(k_1 = \sqrt{3}\) и \(k_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}\) в формулу:

\[\tan{\theta} = \left| \frac{\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + \sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} \right| = \left| \frac{\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + 1} \right| = \left| \frac{\frac{3}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}}}{2} \right| = \left|\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{2}\right| = \frac{1}{\sqrt{3}}.\]

Теперь найдём сам угол:

Ответ: угол между прямыми \(\frac{\pi}{6}\) (или \(30^\circ\)).

\[\theta = \arctan{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\pi}{6}\]