Найти угол между прямыми

Задание из области аналитической геометрии или линейной алгебры, где требуется найти угол между прямыми. Давайте разберём задание под номером 4:

Найти угол между прямыми $\text{(}\sqrt{3}x-y+5=0\text{)}$ и $\text{(}x-\sqrt{3}y-5=0\text{)}$.

Шаг 1. Запишем уравнения прямых.

Первое уравнение: $\text{[}\sqrt{3}x-y+5=0\text{]}$

Приведём его к виду $\text{(}Ax+By+C=0\text{)}$ для удобства:

$\text{[}\sqrt{3}x-y=-5\text{]}$

Второе уравнение:

$\text{[}x-\sqrt{3}y-5=0\text{]}$

Приведём его к виду $\text{(}Ax+By+C=0\text{)}$:

$\text{[}x-\sqrt{3}y=5\text{]}$

Шаг 2. Найдём угловые коэффициенты этих прямых.

Мы можем выразить угловой коэффициент $\text{(}k\text{)}$ для каждой прямой как $\text{(}k=-\frac{A}{B}\text{)}$, где $\text{(}Ax+By+C=0\text{)}$.

1. Для первой прямой $\text{(}\sqrt{3}x-y=-5\text{)}$:

   $\text{[}{A}_1=\sqrt{3},B_1=-1\text{]}$

   Угловой коэффициент $\text{(}{k}_1=-\frac{A_1}{B_1}=-\frac{\sqrt{3}}{-1}=\sqrt{3}\text{)}$.

2. Для второй прямой $\text{(}x-\sqrt{3}y=5\text{)}$:

   $\text{[}{A}_2=1,B_2=-\sqrt{3}\text{]}$

   Угловой коэффициент $\text{(}{k}_2=-\frac{A_2}{B_2}=-\frac{1}{-\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\text{)}$.

Шаг 3. Найдём угол между прямыми.

Формула для нахождения угла между прямыми с известными угловыми коэффициентами $\text{(}{k}_1\text{)}$ и $\text{(}{k}_2\text{)}$ выглядит так:

$\text{[}\tan \theta =\left|\frac{k_1-k_2}{1+k_1{k}_2}\right|\text{]}$

Подставим найденные значения $\text{(}{k}_1=\sqrt{3}\text{)}$ и $\text{(}{k}_2=\frac{1}{\sqrt{3}}\text{)}$ в формулу:

$\text{[}\tan \theta =\left|\frac{\sqrt{3}-\frac{1}{\sqrt{3}}}{1+\sqrt{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}}\right|=\left|\frac{\sqrt{3}-\frac{1}{\sqrt{3}}}{1+1}\right|=\left|\frac{\frac{3}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}}}{2}\right|=\left|\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{2}\right|=\frac{1}{\sqrt{3}}.\text{]}$

Теперь найдём сам угол:

Ответ: угол между прямыми $\text{(}\frac{\pi }{6}\text{)}$ (или $\text{(}{30}^{\circ }\text{)}$).

$\text{[}\theta =\arctan \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\pi }{6}\text{]}$