Найти угол ABC в треугольнике

Предмет: Математика

Раздел: Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Задача 1: Найти угол $\mathrm{\angle }ABC$ в треугольнике $\mathrm{△}ABC$, если $A(-1,-2,4)$, $B(-4,-2,0)$, $C(3,-2,1)$.

Для нахождения угла $\mathrm{\angle }ABC$ используем скалярное произведение векторов. Сначала определим координаты векторов $\overrightarrow{BA}$ и $\overrightarrow{BC}$:

• $\overrightarrow{BA}=A-B=(-1-(-4),-2-(-2),4-0)=(3,0,4)$
• $\overrightarrow{BC}=C-B=(3-(-4),-2-(-2),1-0)=(7,0,1)$

Скалярное произведение векторов $\overrightarrow{BA}$ и $\overrightarrow{BC}$:

$\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=(3\cdot 7)+(0\cdot 0)+(4\cdot 1)=21+0+4=25$

Длины векторов $\overrightarrow{BA}$ и $\overrightarrow{BC}$:

$|\overrightarrow{BA}|=\sqrt{3^2+0^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$

$|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{7^2+0^2+1^2}=\sqrt{49+1}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$

Косинус угла $\mathrm{\angle }ABC$:

$\cos \mathrm{\angle }ABC=\frac{\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}|\cdot |\overrightarrow{BC}|}=\frac{25}{5\cdot 5\sqrt{2}}=\frac{25}{25\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Угол $\mathrm{\angle }ABC$:

$\mathrm{\angle }ABC=\arccos \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)={45}^{\circ }$

Ответ: Угол $\mathrm{\angle }ABC={45}^{\circ }$.

Задача 2: Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах $\overrightarrow{a}=\{2,-2,-3\}$ и $\overrightarrow{b}=4\overrightarrow{i}+6\overrightarrow{k}=\{4,0,6\}$.

Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$:

$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\left|\begin{array}{ccccccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}2& -2& -34& 0& 6\end{array}\right|=\overrightarrow{i}\cdot \left|\begin{array}{ccc}-2& -30& 6\end{array}\right|-\overrightarrow{j}\cdot \left|\begin{array}{ccc}2& -34& 6\end{array}\right|+\overrightarrow{k}\cdot \left|\begin{array}{ccc}2& -24& 0\end{array}\right|$

Вычислим:

1. $\left|\begin{array}{ccc}-2& -30& 6\end{array}\right|=(-2)(6)-(0)(-3)=-12$
2. $\left|\begin{array}{ccc}2& -34& 6\end{array}\right|=(2)(6)-(4)(-3)=12+12=24$
3. $\left|\begin{array}{ccc}2& -24& 0\end{array}\right|=(2)(0)-(4)(-2)=8$

Подставляем:

$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=-12\overrightarrow{i}-24\overrightarrow{j}+8\overrightarrow{k}$

Модуль векторного произведения:

$|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}|=\sqrt{(-12{)}^2+(-24{)}^2+8^2}=\sqrt{144+576+64}=\sqrt{784}=28$

Ответ: Площадь параллелограмма равна $28$.

Задача 3: Компланарны ли векторы $\overrightarrow{a}=\{1,-2,3\}$, $\overrightarrow{b}=\{0,-3,4\}$, $\overrightarrow{c}=-\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}=\{-1,-1,1\}$?

Векторы компланарны, если их смешанное произведение равно нулю:

$[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}]=\left|\begin{array}{ccccccc}1& -2& 30& -3& 4-1& -1& 1\end{array}\right|$

Разложим определитель:

$[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}]=1\cdot \left|\begin{array}{ccc}-3& 4-1& 1\end{array}\right|-(-2)\cdot \left|\begin{array}{ccc}0& 4-1& 1\end{array}\right|+3\cdot \left|\begin{array}{ccc}0& -3-1& -1\end{array}\right|$

Вычислим:

1. $\left|\begin{array}{ccc}-3& 4-1& 1\end{array}\right|=(-3)(1)-(4)(-1)=-3+4=1$
2. $\left|\begin{array}{ccc}0& 4-1& 1\end{array}\right|=(0)(1)-(4)(-1)=4$
3. $\left|\begin{array}{ccc}0& -3-1& -1\end{array}\right|=(0)(-1)-(-3)(-1)=-3$

Подставляем:

$[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}]=1\cdot 1-(-2)\cdot 4+3\cdot (-3)=1+8-9=0$

Ответ: Векторы компланарны.

Задача 4: Проверить, лежат ли в одной плоскости точки $A(0;1;-2)$, $B(3;1;-1)$, $C(2;4;-4)$, $D(4;7;-6)$.

Точки лежат в одной плоскости, если векторы $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AD}$ компланарны. Найдем координаты векторов:

• $\overrightarrow{AB}=B-A=(3-0,1-1,-1-(-2))=(3,0,1)$
• $\overrightarrow{AC}=C-A=(2-0,4-1,-4-(-2))=(2,3,-2)$
• $\overrightarrow{AD}=D-A=(4-0,7-1,-6-(-2))=(4,6,-4)$

Проверим смешанное произведение:

$[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}]=\left|\begin{array}{ccccccc}3& 0& 12& 3& -24& 6& -4\end{array}\right|$

Разложим определитель:

$[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}]=3\cdot \left|\begin{array}{ccc}3& -26& -4\end{array}\right|-0\cdot \left|\begin{array}{ccc}2& -24& -4\end{array}\right|+1\cdot \left|\begin{array}{ccc}2& 34& 6\end{array}\right|$

Вычислим:

1. $\left|\begin{array}{ccc}3& -26& -4\end{array}\right|=(3)(-4)-(-2)(6)=-12+12=0$
2. $\left|\begin{array}{ccc}2& 34& 6\end{array}\right|=(2)(6)-(3)(4)=12-12=0$

Подставляем:

$[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}]=3\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 0=0$

Ответ: Точки лежат в одной плоскости.