Найти угол ABC в треугольнике

Предмет: Математика

Раздел: Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Задача 1: Найти угол \angle ABC в треугольнике \triangle ABC, если A(-1, -2, 4), B(-4, -2, 0), C(3, -2, 1).

Для нахождения угла \angle ABC используем скалярное произведение векторов. Сначала определим координаты векторов \overrightarrow{BA} и \overrightarrow{BC}:

• \overrightarrow{BA} = A - B = (-1 - (-4), -2 - (-2), 4 - 0) = (3, 0, 4)
• \overrightarrow{BC} = C - B = (3 - (-4), -2 - (-2), 1 - 0) = (7, 0, 1)

Скалярное произведение векторов \overrightarrow{BA} и \overrightarrow{BC}:

 \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = (3 \cdot 7) + (0 \cdot 0) + (4 \cdot 1) = 21 + 0 + 4 = 25 

Длины векторов \overrightarrow{BA} и \overrightarrow{BC}:

 |\overrightarrow{BA}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 

 |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{7^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} 

Косинус угла \angle ABC:

 \cos \angle ABC = \frac{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}| \cdot |\overrightarrow{BC}|} = \frac{25}{5 \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{25}{25\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} 

Угол \angle ABC:

 \angle ABC = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ 

Ответ: Угол \angle ABC = 45^\circ.

Задача 2: Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах \vec{a} = \{2, -2, -3\} и \vec{b} = 4\vec{i} + 6\vec{k} = \{4, 0, 6\}.

Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения векторов \vec{a} и \vec{b}:

 \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \ 2 & -2 & -3 \ 4 & 0 & 6 \end{vmatrix} = \vec{i} \cdot \begin{vmatrix} -2 & -3 \ 0 & 6 \end{vmatrix} - \vec{j} \cdot \begin{vmatrix} 2 & -3 \ 4 & 6 \end{vmatrix} + \vec{k} \cdot \begin{vmatrix} 2 & -2 \ 4 & 0 \end{vmatrix} 

Вычислим:

1. \begin{vmatrix}-2 & -3 \ 0 & 6\end{vmatrix} = (-2)(6) - (0)(-3) = -12
2. \begin{vmatrix}2 & -3 \ 4 & 6\end{vmatrix} = (2)(6) - (4)(-3) = 12 + 12 = 24
3. \begin{vmatrix}2 & -2 \ 4 & 0\end{vmatrix} = (2)(0) - (4)(-2) = 8

Подставляем:

 \vec{a} \times \vec{b} = -12\vec{i} - 24\vec{j} + 8\vec{k} 

Модуль векторного произведения:

 |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-12)^2 + (-24)^2 + 8^2} = \sqrt{144 + 576 + 64} = \sqrt{784} = 28 

Ответ: Площадь параллелограмма равна 28.

Задача 3: Компланарны ли векторы \vec{a} = \{1, -2, 3\}, \vec{b} = \{0, -3, 4\}, \vec{c} = -\vec{i} - \vec{j} + \vec{k} = \{-1, -1, 1\}?

Векторы компланарны, если их смешанное произведение равно нулю:

 [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \ 0 & -3 & 4 \ -1 & -1 & 1 \end{vmatrix} 

Разложим определитель:

 [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = 1 \cdot \begin{vmatrix} -3 & 4 \ -1 & 1 \end{vmatrix} - (-2) \cdot \begin{vmatrix} 0 & 4 \ -1 & 1 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 0 & -3 \ -1 & -1 \end{vmatrix} 

Вычислим:

1. \begin{vmatrix}-3 & 4 \ -1 & 1\end{vmatrix} = (-3)(1) - (4)(-1) = -3 + 4 = 1
2. \begin{vmatrix}0 & 4 \ -1 & 1\end{vmatrix} = (0)(1) - (4)(-1) = 4
3. \begin{vmatrix}0 & -3 \ -1 & -1\end{vmatrix} = (0)(-1) - (-3)(-1) = -3

Подставляем:

 [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = 1 \cdot 1 - (-2) \cdot 4 + 3 \cdot (-3) = 1 + 8 - 9 = 0 

Ответ: Векторы компланарны.

Задача 4: Проверить, лежат ли в одной плоскости точки A(0; 1; -2), B(3; 1; -1), C(2; 4; -4), D(4; 7; -6).

Точки лежат в одной плоскости, если векторы \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD} компланарны. Найдем координаты векторов:

• \overrightarrow{AB} = B - A = (3 - 0, 1 - 1, -1 - (-2)) = (3, 0, 1)
• \overrightarrow{AC} = C - A = (2 - 0, 4 - 1, -4 - (-2)) = (2, 3, -2)
• \overrightarrow{AD} = D - A = (4 - 0, 7 - 1, -6 - (-2)) = (4, 6, -4)

Проверим смешанное произведение:

 [\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}] = \begin{vmatrix} 3 & 0 & 1 \ 2 & 3 & -2 \ 4 & 6 & -4 \end{vmatrix} 

Разложим определитель:

 [\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}] = 3 \cdot \begin{vmatrix} 3 & -2 \ 6 & -4 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -2 \ 4 & -4 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \ 4 & 6 \end{vmatrix} 

Вычислим:

1. \begin{vmatrix}3 & -2 \ 6 & -4\end{vmatrix} = (3)(-4) - (-2)(6) = -12 + 12 = 0
2. \begin{vmatrix}2 & 3 \ 4 & 6\end{vmatrix} = (2)(6) - (3)(4) = 12 - 12 = 0

Подставляем:

 [\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}] = 3 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 = 0 

Ответ: Точки лежат в одной плоскости.