Найти сумму матриц

Этот пример относится к области линейной алгебры, которая является частью математической дисциплины. Даны две матрицы: \( A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 \\ -6 & 4 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 5 & 10 \\ -15 & 10 & 0 \end{pmatrix} \) Нужно выполнить следующие операции:

1) Найти сумму матриц A + B.

Правило сложения матриц: Складываем соответствующие элементы матриц \(A\) и \(B\).

\( A + B = \begin{pmatrix} 0 + 0 & 2 + 5 & 4 + 10 \\ -6 + (-15) & 4 + 10 & 0 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 7 & 14 \\ -21 & 14 & 0 \end{pmatrix} \)

Ответ: \( A + B = \begin{pmatrix} 0 & 7 & 14 \\ -21 & 14 & 0 \end{pmatrix} \)

2) Найти выражение \( 2A - 5B \).

Сначала умножим матрицы \(A\) и \(B\) на скаляр:

\( 2A = 2 \times \begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 \\ -6 & 4 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 4 & 8 \\ -12 & 8 & 0 \end{pmatrix} \)

\( 5B = 5 \times \begin{pmatrix} 0 & 5 & 10 \\ -15 & 10 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 25 & 50 \\ -75 & 50 & 0 \end{pmatrix} \)

Теперь вычтем \(5B\) из \(2A\):

\( 2A - 5B = \begin{pmatrix} 0 - 0 & 4 - 25 & 8 - 50 \\ -12 - (-75) & 8 - 50 & 0 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -21 & -42 \\ 63 & -42 & 0 \end{pmatrix} \)

Ответ: \( 2A - 5B = \begin{pmatrix} 0 & -21 & -42 \\ 63 & -42 & 0 \end{pmatrix} \)

3) Найти выражение \( 3A^T + 2B^T \).

Сначала найдём транспонированные матрицы \(A^T\) и \(B^T\). Транспонирование означает замену строк на столбцы. Транспонирование матриц:

\( A^T = \begin{pmatrix} 0 & -6 \\ 2 & 4 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} \quad и \quad B^T = \begin{pmatrix} 0 & -15 \\ 5 & 10 \\ 10 & 0 \end{pmatrix} \)

Теперь умножим \(A^T\) на 3 и \(B^T\) на 2:

\( 3A^T = 3 \times \begin{pmatrix} 0 & -6 \\ 2 & 4 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -18 \\ 6 & 12 \\ 12 & 0 \end{pmatrix} \)

\( 2B^T = 2 \times \begin{pmatrix} 0 & -15 \\ 5 & 10 \\ 10 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -30 \\ 10 & 20 \\ 20 & 0 \end{pmatrix} \)

Теперь сложим матрицы \(3A^T\) и \(2B^T\):

\( 3A^T + 2B^T = \begin{pmatrix} 0 + 0 & -18 + (-30) \\ 6 + 10 & 12 + 20 \\ 12 + 20 & 0 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -48 \\ 16 & 32 \\ 32 & 0 \end{pmatrix} \)

Ответ: \( 3A^T + 2B^T = \begin{pmatrix} 0 & -48 \\ 16 & 32 \\ 32 & 0 \end{pmatrix} \)

Итак, окончательные ответы:

1) \(A + B = \begin{pmatrix} 0 & 7 & 14 \\ -21 & 14 & 0 \end{pmatrix}\)

2) \(2A - 5B = \begin{pmatrix} 0 & -21 & -42 \\ 63 & -42 & 0 \end{pmatrix}\)

3) \(3A^T + 2B^T = \begin{pmatrix} 0 & -48 \\ 16 & 32 \\ 32 & 0 \end{pmatrix}\)