Найти сумму координат центра кривой, необходимо распознать тип кривой и преобразовать уравнение к стандартному виду

Предмет: Алгебра

Раздел: Уравнения второго порядка (квадратичные уравнения), геометрия (координаты центра и стандартный вид уравнений)

Для того чтобы найти сумму координат центра кривой, необходимо распознать тип кривой и преобразовать уравнение к стандартному виду. Дано уравнение: $\text{[}81X^2+1458X+9Y^2+36Y=-5868\text{]}$

1. Приведём уравнение к стандартному виду. Это уравнение похоже на уравнение эллипса или окружности, но давайте преобразуем его, чтобы найти центр.

Преобразуем части по $\text{(}X\text{)}$ и $\text{(}Y\text{)}$:

Для $\text{(}X\text{)}$:

У нас есть $\text{(}81X^2+1458X\text{)}$. Вынесем 81 за скобки: $\text{[}81(X^2+18X)\text{]}$

Теперь выполним завершение квадрата: $\text{[}{X}^2+18X=(X+9{)}^2-81\text{]}$

То есть: $\text{[}81((X+9{)}^2-81)=81(X+9{)}^2-6561\text{]}$

Для $\text{(}Y\text{)}$:

У нас есть $\text{(}9Y^2+36Y\text{)}$. Вынесем 9 за скобки: $\text{[}9(Y^2+4Y)\text{]}$

Теперь выполним завершение квадрата: $\text{[}{Y}^2+4Y=(Y+2{)}^2-4\text{]}$

То есть: $\text{[}9((Y+2{)}^2-4)=9(Y+2{)}^2-36\text{]}$

2. Подставляем выражения в уравнение и упрощаем: $\text{[}81(X+9{)}^2-6561+9(Y+2{)}^2-36=-5868\text{]}$

Приведём все константы к одной стороне: $\text{[}81(X+9{)}^2+9(Y+2{)}^2=-5868+6561+36\text{]}$

Посчитаем правую сторону: $\text{[}-5868+6561+36=729\text{]}$

Теперь уравнение имеет вид: $\text{[}81(X+9{)}^2+9(Y+2{)}^2=729\text{]}$

3. Приведём уравнение к стандартной форме эллипса: Разделим обе части уравнения на 729: $\text{[}\frac{81(X+9{)}^2}{729}+\frac{9(Y+2{)}^2}{729}=1\text{]}$

Упростим: $\text{[}\frac{(X+9{)}^2}{9}+\frac{(Y+2{)}^2}{81}=1\text{]}$

Это стандартный вид уравнения эллипса. Центр эллипса: $\text{(}C(-9,-2)\text{)}$.

4. Найдём сумму координат центра: Центр эллипса имеет координаты $\text{(}(-9,-2)\text{)}$. Сумма координат центра: $\text{[}-9+(-2)=-11\text{]}$

Ответ: -11