Найти сумму координат центра кривой, необходимо распознать тип кривой и преобразовать уравнение к стандартному виду

Предмет: Алгебра

Раздел: Уравнения второго порядка (квадратичные уравнения), геометрия (координаты центра и стандартный вид уравнений)

Для того чтобы найти сумму координат центра кривой, необходимо распознать тип кривой и преобразовать уравнение к стандартному виду. Дано уравнение: \[ 81X^2 + 1458X + 9Y^2 + 36Y = -5868 \]

1. Приведём уравнение к стандартному виду. Это уравнение похоже на уравнение эллипса или окружности, но давайте преобразуем его, чтобы найти центр.

Преобразуем части по \(X\) и \(Y\):

Для \(X\):

У нас есть \(81X^2 + 1458X\). Вынесем 81 за скобки: \[ 81(X^2 + 18X) \]

Теперь выполним завершение квадрата: \[ X^2 + 18X = (X + 9)^2 - 81 \]

То есть: \[ 81((X + 9)^2 - 81) = 81(X + 9)^2 - 6561 \]

Для \(Y\):

У нас есть \(9Y^2 + 36Y\). Вынесем 9 за скобки: \[ 9(Y^2 + 4Y) \]

Теперь выполним завершение квадрата: \[ Y^2 + 4Y = (Y + 2)^2 - 4 \]

То есть: \[ 9((Y + 2)^2 - 4) = 9(Y + 2)^2 - 36 \]

2. Подставляем выражения в уравнение и упрощаем: \[ 81(X + 9)^2 - 6561 + 9(Y + 2)^2 - 36 = -5868 \]

Приведём все константы к одной стороне: \[ 81(X + 9)^2 + 9(Y + 2)^2 = -5868 + 6561 + 36 \]

Посчитаем правую сторону: \[ -5868 + 6561 + 36 = 729 \]

Теперь уравнение имеет вид: \[ 81(X + 9)^2 + 9(Y + 2)^2 = 729 \]

3. Приведём уравнение к стандартной форме эллипса: Разделим обе части уравнения на 729: \[ \frac{81(X + 9)^2}{729} + \frac{9(Y + 2)^2}{729} = 1 \]

Упростим: \[ \frac{(X + 9)^2}{9} + \frac{(Y + 2)^2}{81} = 1 \]

Это стандартный вид уравнения эллипса. Центр эллипса: \( C(-9, -2) \).

4. Найдём сумму координат центра: Центр эллипса имеет координаты \( (-9, -2) \). Сумма координат центра: \[ -9 + (-2) = -11 \]

Ответ: -11