Найти сумму элементов матрицы AB

Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Матрицы и операции над ними

Дано:
Матрицы
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ -1 & -2 \end{pmatrix}
и
B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}.

Нужно найти сумму элементов матрицы AB.

Шаг 1. Умножение матриц A и B

Матрица AB вычисляется как произведение матрицы A размером 2 \times 2 на матрицу B размером 2 \times 3. Результирующая матрица AB будет иметь размер 2 \times 3.

Элементы матрицы AB вычисляются по формуле:
(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^2 A_{ik} \cdot B_{kj}.

Вычислим элементы матрицы AB:

1. Элемент (AB)_{11}: (AB)_{11} = A_{11} \cdot B_{11} + A_{12} \cdot B_{21} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 2 + 2 = 4.

2. Элемент (AB)_{12}: (AB)_{12} = A_{11} \cdot B_{12} + A_{12} \cdot B_{22} = 1 \cdot 0 + 2 \cdot (-1) = 0 - 2 = -2.

3. Элемент (AB)_{13}: (AB)_{13} = A_{11} \cdot B_{13} + A_{12} \cdot B_{23} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 = 1 + 4 = 5.

4. Элемент (AB)_{21}: (AB)_{21} = A_{21} \cdot B_{11} + A_{22} \cdot B_{21} = (-1) \cdot 2 + (-2) \cdot 1 = -2 - 2 = -4.

5. Элемент (AB)_{22}: (AB)_{22} = A_{21} \cdot B_{12} + A_{22} \cdot B_{22} = (-1) \cdot 0 + (-2) \cdot (-1) = 0 + 2 = 2.

6. Элемент (AB)_{23}: (AB)_{23} = A_{21} \cdot B_{13} + A_{22} \cdot B_{23} = (-1) \cdot 1 + (-2) \cdot 2 = -1 - 4 = -5.

Таким образом, матрица AB равна: AB = \begin{pmatrix} 4 & -2 & 5 \ -4 & 2 & -5 \end{pmatrix}.

Шаг 2. Сумма элементов матрицы AB

Суммируем все элементы матрицы AB: \text{Сумма} = 4 + (-2) + 5 + (-4) + 2 + (-5) = 0.

Ответ:

0 (вариант 3).