Найти сумму элементов главной диагонали матрицы BA

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Матрицы и операции над ними

Нам даны матрицы:

A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \ 1 & 1 & -3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 3 & -2 \ 1 & 0 \ 3 & -1 \end{pmatrix}.

Необходимо найти сумму элементов главной диагонали матрицы BA, то есть вычислить след матрицы BA.

Решение:

1. Вычислим произведение матриц BA:

   Матрица B имеет размер 3 \times 2, а матрица A имеет размер 2 \times 3. Произведение BA возможно, и результат будет матрицей размером 3 \times 3.

   Формула для вычисления элементов произведения матриц: (BA)_{ij} = \sum_{k} B_{ik} A_{kj}.

   Шаг за шагом:

   • Элемент (BA)_{11}: (BA)_{11} = B_{11}A_{11} + B_{12}A_{21} = 3 \cdot 2 + (-2) \cdot 1 = 6 - 2 = 4.

   • Элемент (BA)_{12}: (BA)_{12} = B_{11}A_{12} + B_{12}A_{22} = 3 \cdot 0 + (-2) \cdot 1 = 0 - 2 = -2.

   • Элемент (BA)_{13}: (BA)_{13} = B_{11}A_{13} + B_{12}A_{23} = 3 \cdot 1 + (-2) \cdot (-3) = 3 + 6 = 9.

   • Элемент (BA)_{21}: (BA)_{21} = B_{21}A_{11} + B_{22}A_{21} = 1 \cdot 2 + 0 \cdot 1 = 2.

   • Элемент (BA)_{22}: (BA)_{22} = B_{21}A_{12} + B_{22}A_{22} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0.

   • Элемент (BA)_{23}: (BA)_{23} = B_{21}A_{13} + B_{22}A_{23} = 1 \cdot 1 + 0 \cdot (-3) = 1.

   • Элемент (BA)_{31}: (BA)_{31} = B_{31}A_{11} + B_{32}A_{21} = 3 \cdot 2 + (-1) \cdot 1 = 6 - 1 = 5.

   • Элемент (BA)_{32}: (BA)_{32} = B_{31}A_{12} + B_{32}A_{22} = 3 \cdot 0 + (-1) \cdot 1 = 0 - 1 = -1.

   • Элемент (BA)_{33}: (BA)_{33} = B_{31}A_{13} + B_{32}A_{23} = 3 \cdot 1 + (-1) \cdot (-3) = 3 + 3 = 6.

2. Таким образом, матрица BA: BA = \begin{pmatrix} 4 & -2 & 9 \ 2 & 0 & 1 \ 5 & -1 & 6 \end{pmatrix}.

2. Найдем сумму элементов главной диагонали (след):

   Главная диагональ матрицы BA состоит из элементов (BA)_{11}, (BA)_{22}, (BA)_{33}. Их сумма: 4 + 0 + 6 = 10.

Ответ:

Сумма элементов главной диагонали матрицы BA равна 10.
Правильный вариант ответа: 2).