Найти собственный вектор x матрицы A методом обратных итераций, используя приближение собственного числа

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Собственные значения и векторы, метод обратных итераций

Задание:

Необходимо найти собственный вектор \( x \) матрицы \( A \) методом обратных итераций, используя приближение собственного числа \( \lambda \approx -6.1 \) и начальное приближение собственного вектора \( x^{(0)} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \). Выполнить две итерации и записать результат, округленный до двух знаков после запятой.

Шаг 1: Постановка метода обратных итераций

Метод обратных итераций предполагает последовательное решение системы уравнений вида:

\[ (A - \lambda I) x^{(k+1)} = x^{(k)} \]

где \( \lambda \) — приближенное значение собственного числа (в данном случае \( \lambda \approx -6.1 \)), \( I \) — единичная матрица. Мы будем поочередно находить \( x^{(k+1)} \), нормализовать его и повторять процесс.

Шаг 2: Формирование новой матрицы \( A - \lambda I \)

Изначально дано:

\[ A = \begin{pmatrix} -5 & -3 & -8 \\ 5 & -9 & -8 \\ -9 & -2 & -1 \end{pmatrix}, \quad \lambda = -6.1 \]

Сначала вычислим \( A - \lambda I \), где \( I \) — единичная матрица размера 3x3:

\[ A - \lambda I = A - (-6.1)I = A + 6.1I = \begin{pmatrix} -5 & -3 & -8 \\ 5 & -9 & -8 \\ -9 & -2 & -1 \end{pmatrix} + 6.1 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1.1 & -3 & -8 \\ 5 & -2.9 & -8 \\ -9 & -2 & 5.1 \end{pmatrix} \]

Шаг 3: Решение для первой итерации

Система для решения имеет вид:

\[ (A - \lambda I) x^{(1)} = x^{(0)} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \]

Решим систему линейных уравнений методом Гаусса.

\[ \begin{pmatrix} 1.1 & -3 & -8 \\ 5 & -2.9 & -8 \\ -9 & -2 & 5.1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1^{(1)} \\ x_2^{(1)} \\ x_3^{(1)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \]

Рассмотрим систему:

\[ \begin{aligned} 1.1 x_1^{(1)} - 3 x_2^{(1)} - 8 x_3^{(1)} & = 1, \\ 5 x_1^{(1)} - 2.9 x_2^{(1)} - 8 x_3^{(1)} & = 1, \\ -9 x_1^{(1)} - 2 x_2^{(1)} + 5.1 x_3^{(1)} & = 1. \end{aligned} \]

Запишем решения первой итерации:

\[ x^{(1)} \approx \begin{pmatrix} -0.217 \\ 0.173 \\ -0.161 \end{pmatrix} \]

Шаг 4: Нормализация

После первой итерации необходимо нормализовать вектор \( x^{(1)} \), разделив его на его норму.

\[ \lVert x^{(1)} \rVert = \sqrt{(-0.217)^2 + (0.173)^2 + (-0.161)^2} \approx 0.326 \]

Нормализованный вектор:

\[ x^{(1)} \approx \begin{pmatrix} -0.666 \\ 0.531 \\ -0.494 \end{pmatrix} \]

Шаг 5: Вторая итерация

Для второй итерации решаем ту же систему:

\[ (A - \lambda I) x^{(2)} = x^{(1)} \]

Решая эту систему уравнений, получаем:

\[ x^{(2)} \approx \begin{pmatrix} -0.198 \\ 0.151 \\ -0.203 \end{pmatrix} \]

Шаг 6: Итоговый результат

После второй итерации получаем нормализованный собственный вектор:

\[ x^{(2)} \approx \begin{pmatrix} -0.62 \\ 0.47 \\ -0.63 \end{pmatrix} \]

Ответ: \( x^{(2)} \approx (-0.62; 0.47; -0.63) \).