Найти собственный вектор, соответствующий наименьшему собственному значению

Условие:

Решение:

Это задание по линейной алгебре, а точнее по разделу, который касается собственных значений и собственных векторов матриц. Дано: Матрица \( A = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \) и её собственные значения \( \lambda_1 \) и \( \lambda_2 \), где \( \lambda_1 < \lambda_2 \). Необходимо найти собственный вектор, соответствующий наименьшему собственному значению \( \lambda_1 \). Давайте решим шаг за шагом: 1. **Нахождение собственных значений матрицы \( A \)**: Собственные значения матрицы \( A \) находятся из уравнения \(\det(A - \lambda I) = 0\), где \( I \) — единичная матрица. \[ \det \left( \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right) = 0 \] \[ \det \left( \begin{pmatrix} 2 - \lambda & 2 \\ 2 & 2 - \lambda \end{pmatrix} \right) = 0 \] Вычислим определитель: \[ \det \left( \begin{pmatrix} 2 - \lambda & 2 \\ 2 & 2 - \lambda \end{pmatrix} \right) = (2 - \lambda)(2 - \lambda) - 2 \cdot 2 \] \[ = (2 - \lambda)^2 - 4 = 0 \] Решим это уравнение: \[ (2 - \lambda)^2 - 4 = 0 \] \[ (2 - \lambda)^2 = 4 \] \[ 2 - \lambda = \pm 2 \] \[ \lambda_1 = 0, \ \lambda_2 = 4 \] Таким образом, собственные значения матрицы \( A \): \[ \lambda_1 = 0 \] \[ \lambda_2 = 4 \] 2. **Нахождение собственных векторов**: Для \( \lambda_1 = 0 \): \[ (A - \lambda_1 I) \mathbf{v} = 0 \] \[ \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \] Это означает, что: \[ 2x + 2y = 0 \] \[ x = -y \] Значит, собственные векторы для \( \lambda_1 = 0 \) имеют вид: \[ \mathbf{v}_1 = c \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \ \text{где} \ c \ \text{не равно нулю} \] Таким образом, один из собственных векторов, соответствующих \( \lambda_1 = 0 \) будет: \[ (\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} c \\ -c \end{pmatrix} \) \] Следовательно, правильный ответ: \[ (\mathbf{v}_1 = (-c, c) \]