Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Рассмотрим решение по шагам с подробными объяснениями.
Матрица \( A \) дана как:
\[ A = \begin{pmatrix} -6 & 5 & 4 \\ 1 & -7 & -7 \\ -2 & 4 & 3 \\ \end{pmatrix} \]
Начальное приближение для вектора \( x^{(0)} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \).
Метод обратных итераций заключается в том, чтобы находить решение для следующего выражения:
\[ (A - \lambda I) y^{(k+1)} = x^{(k)} \]
где \(\lambda \approx -5.3\) и \( I \) — единичная матрица.
Вычтем \( \lambda I \) из матрицы \( A \):
Матрица \(\lambda I\) при \( \lambda = -5.3 \):
\[ \lambda I = \begin{pmatrix} -5.3 & 0 & 0 \\ 0 & -5.3 & 0 \\ 0 & 0 & -5.3 \end{pmatrix}. \]
Теперь матрица \( A - \lambda I \):
\[ A - \lambda I = \begin{pmatrix} -6 - (-5.3) & 5 & 4 \\ 1 & -7 - (-5.3) & -7 \\ -2 & 4 & 3 - (-5.3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -0.7 & 5 & 4 \\ 1 & -1.7 & -7 \\ -2 & 4 & 8.3 \end{pmatrix} \]
Необходимо решить систему:
\[ (A - \lambda I) y^{(1)} = x^{(0)} \]
Подставляем начальное значение \( x^{(0)} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \) и решаем линейную систему:
\[ \begin{pmatrix} -0.7 & 5 & 4 \\ 1 & -1.7 & -7 \\ -2 & 4 & 8.3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1^{(1)} \\ y_2^{(1)} \\ y_3^{(1)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}. \]
Решая данную систему, найдем вектор \( y^{(1)} \).
После нахождения \( y^{(1)} \) нормализуем его (чтобы длина вектора была равна 1):
\[ x^{(1)} = \frac{y^{(1)}}{\|y^{(1)}\|}. \]
Теперь используем \( x^{(1)} \) в качестве нового приближения и повторяем шаги для второй итерации, решая ту же систему:
\[ (A - \lambda I) y^{(2)} = x^{(1)}. \]
После решения системы и нормализации результата, получим приближение для второго вектора \( x^{(2)} \).
--- Этот процесс можно продолжать до желаемой точности. В данном задании необходимо выполнить две итерации и записать результат с точностью до двух знаков после запятой.