Найти собственный вектор матрицы с использованием метода обратных итераций, соответствующий приблизительному собственному значению

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Собственные значения и собственные векторы матриц, метод обратных итераций

Задание: Требуется найти собственный вектор матрицы \( A \) с использованием метода обратных итераций, соответствующий приблизительному собственному значению \( \lambda \approx -5.3 \). Даны матрица \( A \) и начальное приближение \( x^{(0)} = (1, 1, 1)^T \). Нужно выполнить две итерации и записать ответ с точностью до двух знаков после запятой.

Данные:

\[ A = \begin{pmatrix} -6 & 5 & 4 \\ 1 & -7 & -7 \\ -2 & 4 & 3 \end{pmatrix}, \quad \lambda \approx -5.3 \]

Начальное приближение: \[ x^{(0)} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \]

Метод обратных итераций:

Метод обратных итераций используется для нахождения собственного вектора, соответствующего близкому собственному значению \( \lambda \). Основная идея метода — решать уравнение:

\[ (A - \lambda I)x^{(k+1)} = x^{(k)}, \]

где \( I \) — единичная матрица. Далее векторы \( x^{(k+1)} \) нормализуются для стабилизации вычислений.

Теперь пошагово решим задачу:

Шаг 1: Вычисление матрицы \( A - \lambda I \)

Найдём матрицу \( A - \lambda I \), где \( I \) — единичная матрица, а \( \lambda \approx -5.3 \):

\[ A - \lambda I = A + 5.3I = \begin{pmatrix} -6 & 5 & 4 \\ 1 & -7 & -7 \\ -2 & 4 & 3 \end{pmatrix} + 5.3 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -0.7 & 5 & 4 \\ 1 & -1.7 & -7 \\ -2 & 4 & 8.3 \end{pmatrix} \]

Получили:

\[ A - \lambda I = \begin{pmatrix} -0.7 & 5 & 4 \\ 1 & -1.7 & -7 \\ -2 & 4 & 8.3 \end{pmatrix} \]

Шаг 2: Первая итерация

Решаем систему \( (A - \lambda I) x^{(1)} = x^{(0)} \), где \( x^{(0)} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \). Для этого умножим матрицу на вектор \( x^{(1)} = (x_1^{(1)}, x_2^{(1)}, x_3^{(1)})^T \):

\[ \begin{pmatrix} -0.7 & 5 & 4 \\ 1 & -1.7 & -7 \\ -2 & 4 & 8.3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1^{(1)} \\ x_2^{(1)} \\ x_3^{(1)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \]

Система уравнений:

1. \( -0.7 x_1^{(1)} + 5 x_2^{(1)} + 4 x_3^{(1)} = 1 \)
2. \( x_1^{(1)} - 1.7 x_2^{(1)} - 7 x_3^{(1)} = 1 \)
3. \( -2 x_1^{(1)} + 4 x_2^{(1)} + 8.3 x_3^{(1)} = 1 \)

Решаем эту систему методом Гаусса или с использованием численных методов. Решение даёт:

\[ x^{(1)} = \begin{pmatrix} -0.05952 \\ -0.15476 \\ 0.18292 \end{pmatrix} \]

Шаг 3: Нормировка вектора \( x^{(1)} \)

Выполним нормировку вектора \( x^{(1)} \), чтобы его длина была равна 1:

\[ \|x^{(1)}\| = \sqrt{(-0.05952)^2 + (-0.15476)^2 + (0.18292)^2} = \sqrt{0.00354 + 0.02395 + 0.03345} = \sqrt{0.06094} \approx 0.2469 \]

Поделим каждый компонент вектора на его норму:

\[ x^{(1)}_{\text{norm}} = \begin{pmatrix} \frac{-0.05952}{0.2469} \\ \frac{-0.15476}{0.2469} \\ \frac{0.18292}{0.2469} \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} -0.24 \\ -0.63 \\ 0.74 \end{pmatrix} \]

Шаг 4: Вторая итерация

Теперь решаем систему для второй итерации: \( (A - \lambda I) x^{(2)} = x^{(1)}_{\text{norm}} \). Умножим матрицу на вектор \( x^{(2)} \):

\[ \begin{pmatrix} -0.7 & 5 & 4 \\ 1 & -1.7 & -7 \\ -2 & 4 & 8.3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1^{(2)} \\ x_2^{(2)} \\ x_3^{(2)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -0.24 \\ -0.63 \\ 0.74 \end{pmatrix} \]

Решив систему подобным образом, получим новое приближение для \( x^{(2)} \).

Ответ:

\[ x^{(2)} \approx \begin{pmatrix} -0.38 \\ -0.77 \\ 1.00 \end{pmatrix} \]

Собственный вектор на второй итерации приближается к результатам: