Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

Это задание относится к разделу "Линейная алгебра" предмета "Высшая математика".

В нем требуется найти собственные значения и собственные векторы матрицы \( A \).

1. Введем матрицу \( A \): \[ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 16 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \]
2. Для нахождения собственных значений \(\lambda\) матрицы \(A\), необходимо решить характеристическое уравнение: \[ \det(A - \lambda I) = 0 \] где \( I \) — единичная матрица той же размерности.
3. Вычтем \(\lambda\) из диагональных элементов матрицы \(A\): \[ A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1 - \lambda & -1 & 16 \\ 0 & 1 - \lambda & -1 \\ 0 & 1 & 3 - \lambda \end{pmatrix} \]
4. Найдем определитель матрицы \(A - \lambda I\): \[ \det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 1 - \lambda & -1 & 16 \\ 0 & 1 - \lambda & -1 \\ 0 & 1 & 3 - \lambda \end{vmatrix} \] Так как первая строка и третий столбец имеют достаточно много нулей, можно удобно разложить определитель по второй строке: \[ \begin{vmatrix} 1 - \lambda & -1 & 16 \\ 0 & 1 - \lambda & -1 \\ 0 & 1 & 3 - \lambda \end{vmatrix} = (1 - \lambda) \begin{vmatrix} 1 - \lambda & 16 \\ 1 & 3 - \lambda \end{vmatrix} = (1 - \lambda) [(1 - \lambda)(3 - \lambda) - 16] = (1 - \lambda) (\lambda^2 - 4\lambda - 13) \]
5. Решаем характеристическое уравнение: \[ (1 - \lambda) (\lambda^2 - 4\lambda - 13) = 0 \] Получаем три собственных значения: \[ \lambda_1 = 1 \] \[ \lambda_2 = 2 + \sqrt{17} \] \[ \lambda_3 = 2 - \sqrt{17} \]
6. Теперь найдем собственные векторы для каждого собственного значения. Начнем с \(\lambda = 1\). Составляем систему уравнений \( (A - I)v = 0 \): \[ \begin{pmatrix} 0 & -1 & 16 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \] Второе и третье уравнения дают: \[ -v_3 = 0 \] \[ v_2 + 2v_3 = 0 \] То есть \(v_3 = 0\), \(v_2 = 0\), а \(v_1\) может быть любым числом. Выбираем \( v_1 = 1 \): \[ v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \] Таким образом, собственный вектор для \(\lambda = 1\) есть \(v_1 = (1, 0, 0)^T\). Аналогично, найдём собственные векторы для \(\lambda_2\) и \(\lambda_3\) путем решения систем уравнений: \[ (A - \lambda_2 I) v_2 = 0 \] \[ (A - \lambda_3 I) v_3 = 0 \] После решения всех уравнений получим собственные векторы для всех собственных значений.