Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования заданного матрицей A(phi)=(-3 2) (-4 6)

Условие:

Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования заданного матрицей A(phi)=(-3 2) (-4 6)

Решение:

Данное задание относится к теме "Линейная алгебра", а точнее к разделу "Собственные значения и собственные векторы линейных преобразований". Мы будем находить собственные значения и собственные векторы матрицы \( A \). Матрица \( A \) дана следующая: \[ A = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -4 & 6 \end{pmatrix} \] ### 1. Нахождение собственных значений Для начала нам нужно найти собственные значения. Для этого решим характеристическое уравнение. Характеристическое уравнение получается из детерминанта матрицы \( A - \lambda I \), где \( I \) — единичная матрица, а \( \lambda \) — собственное значение. \[ A - \lambda I = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -4 & 6 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 - \lambda & 2 \\ -4 & 6 - \lambda \end{pmatrix} \] Теперь найдем детерминант этой матрицы и приравняем его к нулю: \[ \text{det}(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} -3 - \lambda & 2 \\ -4 & 6 - \lambda \end{vmatrix} = (-3 - \lambda)(6 - \lambda) - (2)(-4) \] Вычислим детерминант: \[ (-3 - \lambda)(6 - \lambda) + 8 = (-18 + 3\lambda - 6\lambda + \lambda^2) + 8 = \lambda^2 - 3\lambda - 10 \] Характеристическое уравнение: \[ \lambda^2 - 3\lambda - 10 = 0 \] Теперь решим квадратное уравнение. Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 \] Корни уравнения: \[ \lambda_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2} \] Итак, собственные значения: \[ \lambda_1 = \frac{10}{2} = 5 \] \[ \lambda_2 = \frac{-4}{2} = -2 \] ### 2. Нахождение собственных векторов Теперь найдем собственные векторы для каждого найденного собственного значения. #### Собственное значение \(\lambda_1 = 5\): Найдем векторы, удовлетворяющие \( (A - 5I)v = 0 \): \[ A - 5I = \begin{pmatrix} -3 - 5 & 2 \\ -4 & 6 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 & 2 \\ -4 & 1 \end{pmatrix} \] Составляем систему уравнений: \[ \begin{pmatrix} -8 & 2 \\ -4 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \] Система уравнений: \[ \begin{cases} -8x + 2y = 0 \\ -4x + y = 0 \end{cases} \] Из второго уравнения: \[ -4x + y = 0 \implies y = 4x \] Отсюда собственный вектор для \(\lambda_1 = 5\): \[ v_1 = k \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} \] где \( k \) — произвольная константа. #### Собственное значение \(\lambda_2 = -2\): Найдем векторы, удовлетворяющие \( (A + 2I)v = 0 \): \[ A + 2I = \begin{pmatrix} -3 + 2 & 2 \\ -4 & 6 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -4 & 8 \end{pmatrix} \] Составляем систему уравнений: \[ \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -4 & 8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \] Система уравнений: \[ \begin{cases} -1x + 2y = 0 \\ -4x + 8y = 0 \end{cases} \] Из первого уравнения: \[ -x + 2y = 0 \implies x = 2y \] Отсюда собственный вектор для \(\lambda_2 = -2\): \[ v_2 = k \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \] где \( k \) — произвольная константа. ### Итог: Мы нашли собственные значения и соответствующие им собственные векторы матрицы \( A \): - Собственное значение \(\lambda_1 = 5\), собственный вектор \( v_1 = k \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} \) - Собственное значение \(\lambda_2 = -2\), собственный вектор \( v_2 = k \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \)