Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей

Задание принадлежит предмету "Линейная алгебра", разделу "Собственные значения и собственные векторы".

Необходимо найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей \( A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & -6 \end{pmatrix} \).

1. Поиск собственных значений

Собственные значения матрицы \( A \) находятся из уравнения:

\[ \det(A - \lambda I) = 0 \]

Где \( \lambda \) – собственные значения, \( I \) – единичная матрица. Сначала запишем матрицу \( A - \lambda I \):

\[ A - \lambda I = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & -6 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - \lambda & -2 \\ 1 & -6 - \lambda \end{pmatrix} \]

Теперь найдем определитель этой матрицы:

\[ \det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 4 - \lambda & -2 \\ 1 & -6 - \lambda \end{pmatrix} \]

Определитель 2x2 матрицы вычисляется так:

\[ \det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc \]

В нашем случае:

\[ \det\begin{pmatrix} 4 - \lambda & -2 \\ 1 & -6 - \lambda \end{pmatrix} = (4 - \lambda)(-6 - \lambda) - (-2)(1) \]

Распределим и упростим:

\[ (4 - \lambda)(-6 - \lambda) = -24 - 4\lambda + 6\lambda + \lambda^2 = \lambda^2 + 2\lambda - 24 \]

Добавим оставшуюся часть:

\[ \lambda^2 + 2\lambda - 24 + 2 = \lambda^2 + 2\lambda - 22 \]

Теперь уравнение равно:

\[ \lambda^2 + 2\lambda - 22 = 0 \]

Решим квадратное уравнение \( \lambda^2 + 2\lambda - 22 = 0 \) с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-22) = 4 + 88 = 92 \]

Найдем корни уравнения по формуле:

\[ \lambda_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{92}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{23}}{2} = -1 \pm \sqrt{23} \]

Таким образом, собственные значения:

\[ \lambda_1 = -1 + \sqrt{23} \]

\[ \lambda_2 = -1 - \sqrt{23} \]

2. Поиск собственных векторов

Для каждого собственного значения \( \lambda \) находим собственный вектор, решая уравнение:

\[ (A - \lambda I) \mathbf{v} = 0 \]

Найдём собственный вектор для \( \lambda_1 = -1 + \sqrt{23} \):

\[ A - \lambda_1 I = \begin{pmatrix} 4 - (-1 + \sqrt{23}) & -2 \\ 1 & -6 - (-1 + \sqrt{23}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 - \sqrt{23} & -2 \\ 1 & -5 - \sqrt{23} \end{pmatrix} \]

Ищем ненулевые \( \mathbf{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} \), такие что:

\[ \begin{pmatrix} 5 - \sqrt{23} & -2 \\ 1 & -5 - \sqrt{23} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \]

Это означают решение СЛАУ (например используя метод Гаусса или метод Крамера), для нахождения собственных векторов.

Найдём собственный вектор для \( \lambda_2 = -1 - \sqrt{23} \):

\[ A - \lambda_2 I = \begin{pmatrix} 4 - (-1 - \sqrt{23}) & -2 \\ 1 & -6 - (-1 - \sqrt{23}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 + \sqrt{23} & -2 \\ 1 & -5 + \sqrt{23} \end{pmatrix} \]

Ищем ненулевые \( \mathbf{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} \), такие что:

\[ \begin{pmatrix} 5 + \sqrt{23} & -2 \\ 1 & -5 + \sqrt{23} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \]

Аналогично решаем СЛАУ для нахождения собственных векторов. На этом этапе мы получили искомые собственные значения и указали путь к получению собственных векторов. При необходимости можно детализировать решение системы линейных уравнений.