Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей

Условие:

Решение:

Задание принадлежит предмету "Линейная алгебра", разделу "Собственные значения и собственные векторы". Необходимо найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей \( A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & -6 \end{pmatrix} \). ### 1. Поиск собственных значений Собственные значения матрицы \( A \) находятся из уравнения: \[ \det(A - \lambda I) = 0 \] Где \( \lambda \) – собственные значения, \( I \) – единичная матрица. Сначала запишем матрицу \( A - \lambda I \): \[ A - \lambda I = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & -6 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - \lambda & -2 \\ 1 & -6 - \lambda \end{pmatrix} \] Теперь найдем определитель этой матрицы: \[ \det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 4 - \lambda & -2 \\ 1 & -6 - \lambda \end{pmatrix} \] Определитель 2x2 матрицы вычисляется так: \[ \det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc \] В нашем случае: \[ \det\begin{pmatrix} 4 - \lambda & -2 \\ 1 & -6 - \lambda \end{pmatrix} = (4 - \lambda)(-6 - \lambda) - (-2)(1) \] Распределим и упростим: \[ (4 - \lambda)(-6 - \lambda) = -24 - 4\lambda + 6\lambda + \lambda^2 = \lambda^2 + 2\lambda - 24 \] Добавим оставшуюся часть: \[ \lambda^2 + 2\lambda - 24 + 2 = \lambda^2 + 2\lambda - 22 \] Теперь уравнение равно: \[ \lambda^2 + 2\lambda - 22 = 0 \] Решим квадратное уравнение \(\lambda^2 + 2\lambda - 22 = 0\) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-22) = 4 + 88 = 92 \] Найдем корни уравнения по формуле: \[ \lambda_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{92}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{23}}{2} = -1 \pm \sqrt{23} \] Таким образом, собственные значения: \[ \lambda_1 = -1 + \sqrt{23} \] \[ \lambda_2 = -1 - \sqrt{23} \] ### 2. Поиск собственных векторов Для каждого собственного значения \(\lambda\) находим собственный вектор, решая уравнение: \[ (A - \lambda I) \mathbf{v} = 0 \] #### Найдём собственный вектор для \(\lambda_1 = -1 + \sqrt{23}\): \[ A - \lambda_1 I = \begin{pmatrix} 4 - (-1 + \sqrt{23}) & -2 \\ 1 & -6 - (-1 + \sqrt{23}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 - \sqrt{23} & -2 \\ 1 & -5 - \sqrt{23} \end{pmatrix} \] Ищем ненулевые \( \mathbf{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} \), такие что: \[ \begin{pmatrix} 5 - \sqrt{23} & -2 \\ 1 & -5 - \sqrt{23} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \] Это означают решение СЛАУ (например используя метод Гаусса или метод Крамера), для нахождения собственных векторов. #### Найдём собственный вектор для \(\lambda_2 = -1 - \sqrt{23}\): \[ A - \lambda_2 I = \begin{pmatrix} 4 - (-1 - \sqrt{23}) & -2 \\ 1 & -6 - (-1 - \sqrt{23}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 + \sqrt{23} & -2 \\ 1 & -5 + \sqrt{23} \end{pmatrix} \] Ищем ненулевые \( \mathbf{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} \), такие что: \[ \begin{pmatrix} 5 + \sqrt{23} & -2 \\ 1 & -5 + \sqrt{23} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \] Аналогично решаем СЛАУ для нахождения собственных векторов. На этом этапе мы получили искомые собственные значения и указали путь к получению собственных векторов. При необходимости можно детализировать решение системы линейных уравнений.