Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Найти собственные числа обратной матрицы
Условие:
Решение:
Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Теория матриц
Задание: Найти собственные числа обратной матрицы A.
Дана матрица \( A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 7 & 9 \end{pmatrix} \). Для начала найдем обратную матрицу \( A^{-1} \).
Чтобы найти \( A^{-1} \), используем формулу: \[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A) \]
1. Найдем определитель матрицы \( A \):
\[ \det(A) = 3 \cdot 9 - 5 \cdot 7 = 27 - 35 = -8 \]2. Найдем алгебраическое дополнение (адъюнкт-матрицу) \( \text{adj}(A) \):
\[ \text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 9 & -5 \\ -7 & 3 \end{pmatrix} \]3. Подставим в формулу для обратной матрицы:
\[ A^{-1} = \frac{1}{-8} \cdot \begin{pmatrix} 9 & -5 \\ -7 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{9}{8} & \frac{5}{8} \\ \frac{7}{8} & -\frac{3}{8} \end{pmatrix} \]Теперь найдем собственные числа матрицы \( A^{-1} \). Собственные числа матрицы \( A^{-1} \), по определению, являются корнями её характеристического уравнения:
\[ \det(A^{-1} - \lambda I) = 0 \]где \( I \) - единичная матрица 2 на 2.
Рассмотрим матрицу \( A^{-1} - \lambda I \):
\[ A^{-1} - \lambda I = \begin{pmatrix} -\frac{9}{8} - \lambda & \frac{5}{8} \\ \frac{7}{8} & -\frac{3}{8} - \lambda \end{pmatrix} \]Теперь найдем её определитель и составим характеристическое уравнение:
\[ \det\left( \begin{pmatrix} -\frac{9}{8} - \lambda & \frac{5}{8} \\ \frac{7}{8} & -\frac{3}{8} - \lambda \end{pmatrix} \right) = \left(-\frac{9}{8} - \lambda\right)\left(-\frac{3}{8} - \lambda\right) - \left(\frac{5}{8}\right)\left(\frac{7}{8}\right) \]Выполним умножения и упростим:
\[ \left(-\frac{9}{8} - \lambda\right)\left(-\frac{3}{8} - \lambda\right) = \frac{27}{64} + \frac{9\lambda}{8} + \frac{27\lambda}{64} + \lambda^2 \] \[ - \frac{35}{64} = \frac{27}{64} + \frac{9\lambda}{8} - \frac{35}{64} \]Характеристическое уравнение примет вид \( (\lambda -1,5) \) и \( \lambda = -0,5 \)
Таким образом, собственными числами обратной матрицы являются: 1,5 и -0,5.
Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку