Найти собственные числа обратной матрицы

Условие:

Решение:

Предмет: Линейная алгебра Раздел: Теория матриц Задание: Найти собственные числа обратной матрицы A. Дана матрица \( A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 7 & 9 \end{pmatrix} \). Для начала найдем обратную матрицу \( A^{-1} \). Чтобы найти \( A^{-1} \), используем формулу: \[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A) \] 1. Найдем определитель матрицы \( A \): \[ \det(A) = 3 \cdot 9 - 5 \cdot 7 = 27 - 35 = -8 \] 2. Найдем алгебраическое дополнение (адъюнкт-матрицу) \( \text{adj}(A) \): \[ \text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 9 & -5 \\ -7 & 3 \end{pmatrix} \] 3. Подставим в формулу для обратной матрицы: \[ A^{-1} = \frac{1}{-8} \cdot \begin{pmatrix} 9 & -5 \\ -7 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{9}{8} & \frac{5}{8} \\ \frac{7}{8} & -\frac{3}{8} \end{pmatrix} \] Теперь найдем собственные числа матрицы \( A^{-1} \). Собственные числа матрицы \( A^{-1} \), по определению, являются корнями её характеристического уравнения: \[ \det(A^{-1} - \lambda I) = 0 \] где \( I \) - единичная матрица 2 на 2. Рассмотрим матрицу \( A^{-1} - \lambda I \): \[ A^{-1} - \lambda I = \begin{pmatrix} -\frac{9}{8} - \lambda & \frac{5}{8} \\ \frac{7}{8} & -\frac{3}{8} - \lambda \end{pmatrix} \] Теперь найдем её определитель и составим характеристическое уравнение: \[ \det\left( \begin{pmatrix} -\frac{9}{8} - \lambda & \frac{5}{8} \\ \frac{7}{8} & -\frac{3}{8} - \lambda \end{pmatrix} \right) = \left(-\frac{9}{8} - \lambda\right)\left(-\frac{3}{8} - \lambda\right) - \left(\frac{5}{8}\right)\left(\frac{7}{8}\right) \] Выполним умножения и упростим: \[ \left(-\frac{9}{8} - \lambda\right)\left(-\frac{3}{8} - \lambda\right) = \frac{27}{64} + \frac{9\lambda}{8} + \frac{27\lambda}{64} + \lambda^2 \] \[ - \frac{35}{64} = \frac{27}{64} + \frac{9\lambda}{8} - \frac{35}{64} \] Характеристическое уравнение примет вид \[ (\lambda -1,5) и λ = -0,5 \] Таким образом, собственными числами обратной матрицы являются: 1,5 и -0,5.