Найти собственные чисел матрицы, а затем их произведения

Условие:

Решение:

Это задание относится к предмету "Высшая математика" или "Линейная алгебра". В данном конкретном задании речь идет о нахождении собственных чисел матрицы, а затем их произведения. Матрица \( A \) дана и необходимо найти произведение собственных чисел матрицы, обратной данной матрице. Рассмотрим матрицу \( A \): \[ A = \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 5 & 5 \end{pmatrix} \] Первоначально находим собственные числа (eigenvalues) исходной матрицы \( A \). Для этого решаем характеристическое уравнение: \[ \det(A - \lambda I) = 0 \] где \( I \) — единичная матрица и \( \lambda \) — собственные числа. \[ \det\left( \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 5 & 5 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right) = 0 \] Это равно: \[ \det\begin{pmatrix} 3 - \lambda & 7 \\ 5 & 5 - \lambda \end{pmatrix} = (3 - \lambda)(5 - \lambda) - 7 \cdot 5 = 0 \] Рассчитаем это выражение: \[ (3 - \lambda)(5 - \lambda) - 35 = 0 \] \[ 15 - 3\lambda - 5\lambda + \lambda^2 - 35 = 0 \] \[ \lambda^2 - 8\lambda - 20 = 0 \] Теперь решаем это квадратное уравнение для \( \lambda \): \[ \lambda_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{8 \pm 12}{2} \] Таким образом, собственные числа матрицы \( A \) равны: \[ \lambda_1 = 10 \] \[ \lambda_2 = -2 \] Собственные числа обратной матрицы \( A^{-1} \) равны обратным значениям собственных чисел матрицы \( A \). То есть: \[ \mu_1 = \frac{1}{\lambda_1} = \frac{1}{10} = 0.1 \] \[ \mu_2 = \frac{1}{\lambda_2} = \frac{1}{-2} = -0.5 \] Произведение собственных чисел обратной матрицы: \[ \mu_1 \cdot \mu_2 = 0.1 \cdot -0.5 = -0.05 \] Таким образом, правильный ответ: \[ -0.05 \]