Найти собственные чисел матрицы, а затем их произведения

Это задание относится к предмету "Высшая математика" или "Линейная алгебра".

В данном конкретном задании речь идет о нахождении собственных чисел матрицы, а затем их произведения. Матрица \( A \) дана и необходимо найти произведение собственных чисел матрицы, обратной данной матрице. Рассмотрим матрицу \( A \):

\[ A = \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 5 & 5 \end{pmatrix} \]

Первоначально находим собственные числа (eigenvalues) исходной матрицы \( A \). Для этого решаем характеристическое уравнение:

\[ \det(A - \lambda I) = 0 \]

где \( I \) — единичная матрица и \( \lambda \) — собственные числа.

\[ \det\left( \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 5 & 5 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right) = 0 \]

Это равно:

\[ \det\begin{pmatrix} 3 - \lambda & 7 \\ 5 & 5 - \lambda \end{pmatrix} = (3 - \lambda)(5 - \lambda) - 7 \cdot 5 = 0 \]

Рассчитаем это выражение:

\[ (3 - \lambda)(5 - \lambda) - 35 = 0 \]

\[ 15 - 3\lambda - 5\lambda + \lambda^2 - 35 = 0 \]

\[ \lambda^2 - 8\lambda - 20 = 0 \]

Теперь решаем это квадратное уравнение для \( \lambda \):

\[ \lambda_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{8 \pm 12}{2} \]

Таким образом, собственные числа матрицы \( A \) равны:

\[ \lambda_1 = 10 \]

\[ \lambda_2 = -2 \]

Собственные числа обратной матрицы \( A^{-1} \) равны обратным значениям собственных чисел матрицы \( A \). То есть:

\[ \mu_1 = \frac{1}{\lambda_1} = \frac{1}{10} = 0.1 \]

\[ \mu_2 = \frac{1}{\lambda_2} = \frac{1}{-2} = -0.5 \]

Произведение собственных чисел обратной матрицы:

\[ \mu_1 \cdot \mu_2 = 0.1 \cdot -0.5 = -0.05 \]

Таким образом, правильный ответ:

\[ -0.05 \]