Задание: Найти смешанное произведение векторов
\( \vec{AC} \),
\( \vec{BC} \),
\( \vec{DA} \), если
\( A(1;2;3) \),
\( B(5;1;-1) \),
\( C(6;1;0) \),
\( D(0;-7;1) \), и объем пирамиды
\( ABCD \).
Шаг 1. Определение предмета и раздела
- Предмет: Векторы и аналитическая геометрия (линейная алгебра).
- Раздел: Смешанное произведение векторов и геометрия объемов фигур.
В этом задании нужно найти смешанное произведение векторов и использовать его для нахождения объема пирамиды. Смешанное произведение трёх векторов
\( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \) выражается как
\( [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} \). Абсолютное значение этого выражения даст шестикратный объём пирамиды, образованной точками, от которых взяты векторы.
Шаг 2. Нахождение координат векторов \( \vec{AC} \), \( \vec{BC} \), \( \vec{DA} \)
Чтобы найти вектора, достаточно вычислить разность соответствующих координат точек:
- Найдем \( \vec{AC} \): \[ \vec{AC} = C - A = (6;1;0) - (1;2;3) = (6-1; 1-2; 0-3) = (5; -1; -3) \]
- Найдем \( \vec{BC} \): \[ \vec{BC} = C - B = (6;1;0) - (5;1;-1) = (6-5; 1-1; 0-(-1)) = (1; 0; 1) \]
- Найдем \( \vec{DA} \): \[ \vec{DA} = A - D = (1;2;3) - (0;-7;1) = (1-0; 2-(-7); 3-1) = (1; 9; 2) \]
Теперь у нас есть вектора:
\( \vec{AC} = (5; -1; -3) \),
\( \vec{BC} = (1; 0; 1) \),
\( \vec{DA} = (1; 9; 2) \).
Шаг 3. Находим смешанное произведение векторов
Чтобы найти смешанное произведение
\( [\vec{AC}, \vec{BC}, \vec{DA}] \), нужно выполнить два шага:
- Сначала найдем векторное произведение \( \vec{AC} \times \vec{BC} \).
- Затем скалярное произведение результата с вектором \( \vec{DA} \).
Шаг 3.1. Векторное произведение \( \vec{AC} \times \vec{BC} \)_IDX:1_TRANSFORM: REMOVE_
Формула для нахождения векторного произведения векторов
\( (a_1, a_2, a_3) \times (b_1, b_2, b_3) \) такова:
\[ \vec{a} \times \vec{b} = \left( a_2b_3 - a_3b_2; a_3b_1 - a_1b_3; a_1b_2 - a_2b_1 \right) \]
Подставляем координаты
\( \vec{AC} = (5; -1; -3) \) и
\( \vec{BC} = (1; 0; 1) \):
\[ \vec{AC} \times \vec{BC} = \left( (-1) \times 1 - (-3) \times 0; (-3) \times 1 - 5 \times 1; 5 \times 0 - (-1) \times 1 \right) \]
Посчитаем:
\[ \vec{AC} \times \vec{BC} = \left( -1 - 0; -3 - 5; 0 + 1 \right) = (-1; -8; 1) \]
Шаг 3.2. Скалярное произведение \( (\vec{AC} \times \vec{BC}) \cdot \vec{DA} \)
Теперь находим скалярное произведение вектора
\( (-1; -8; 1) \) с вектором
\( \vec{DA} = (1; 9; 2) \). Формула для скалярного произведения двух векторов
\( (x_1, y_1, z_1) \cdot (x_2, y_2, z_2) \):
\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 \]
Подставляем:
\[ (-1) \cdot 1 + (-8) \cdot 9 + 1 \cdot 2 = -1 - 72 + 2 = -71 \]
Итак, смешанное произведение векторов
\( [\vec{AC}, \vec{BC}, \vec{DA}] = -71 \).
Шаг 4. Нахождение объёма пирамиды
Объём пирамиды вычисляется как одна шестая от абсолютного значения смешанного произведения векторов:
\[ V = \frac{1}{6} \cdot |[\vec{AC}, \vec{BC}, \vec{DA}]| \]
Подставляем найденное значение:
\[ V = \frac{1}{6} \cdot |-71| = \frac{1}{6} \cdot 71 = 11.83 \]
Ответ:
Смешанное произведение векторов
\( [\vec{AC}, \vec{BC}, \vec{DA}] = -71 \). Объём пирамиды
\( ABCD \) равен
\( \frac{71}{6} \approx 11.83 \).