Найти смешанное произведение векторов

Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Векторная алгебра

Смешанное произведение трёх векторов — это скалярное произведение одного из векторов на векторное произведение двух других. Пусть даны три вектора \mathbf{a}, \mathbf{b} и \mathbf{c}. Тогда их смешанное произведение вычисляется по формуле:

 [\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}] = \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}), 

где:

• \mathbf{b} \times \mathbf{c} — векторное произведение векторов \mathbf{b} и \mathbf{c},
• \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) — скалярное произведение вектора \mathbf{a} на векторное произведение \mathbf{b} \times \mathbf{c}.

Дано:

• \mathbf{a} = (2, 3, 4),
• \mathbf{b} = (1, -1, 0),
• \mathbf{c} = (3, 2, 4).

Шаг 1. Вычислим векторное произведение \mathbf{b} \times \mathbf{c}

Векторное произведение двух векторов \mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3) и \mathbf{c} = (c_1, c_2, c_3) вычисляется по определению детерминанта:

 \mathbf{b} \times \mathbf{c} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ b_1 & b_2 & b_3 \ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}, 

где \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} — орты координатных осей. Распишем детерминант:

 \mathbf{b} \times \mathbf{c} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} b_2 & b_3 \ c_2 & c_3 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} b_1 & b_3 \ c_1 & c_3 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} b_1 & b_2 \ c_1 & c_2 \end{vmatrix}. 

Подставим значения \mathbf{b} = (1, -1, 0) и \mathbf{c} = (3, 2, 4):

 \mathbf{b} \times \mathbf{c} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} -1 & 0 \ 2 & 4 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 1 & 0 \ 3 & 4 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 1 & -1 \ 3 & 2 \end{vmatrix}. 

Теперь вычислим каждый из миноров:

1. \begin{vmatrix} -1 & 0 \ 2 & 4 \end{vmatrix} = (-1)(4) - (0)(2) = -4,
2. \begin{vmatrix} 1 & 0 \ 3 & 4 \end{vmatrix} = (1)(4) - (0)(3) = 4,
3. \begin{vmatrix} 1 & -1 \ 3 & 2 \end{vmatrix} = (1)(2) - (-1)(3) = 2 + 3 = 5.

Подставим всё обратно:

 \mathbf{b} \times \mathbf{c} = \mathbf{i}(-4) - \mathbf{j}(4) + \mathbf{k}(5). 

Или в координатной форме:

 \mathbf{b} \times \mathbf{c} = (-4, -4, 5). 

Шаг 2. Найдём скалярное произведение \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})

Скалярное произведение двух векторов \mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3) и \mathbf{d} = (d_1, d_2, d_3) вычисляется по формуле:

 \mathbf{a} \cdot \mathbf{d} = a_1 d_1 + a_2 d_2 + a_3 d_3. 

Подставим \mathbf{a} = (2, 3, 4) и \mathbf{b} \times \mathbf{c} = (-4, -4, 5):

 \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = 2(-4) + 3(-4) + 4(5). 

Выполним вычисления:

1. 2(-4) = -8,
2. 3(-4) = -12,
3. 4(5) = 20.

Сложим всё:

 \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = -8 - 12 + 20 = 0. 

Ответ:

Смешанное произведение векторов равно 0.