Найти смешанное произведение трёх векторов

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Векторы, скалярное и векторное произведения

Необходимо найти смешанное произведение трёх векторов \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \). Это произведение обозначается как \( (\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})) \), или кратко \( abc \).

Векторы заданы как:

\[ \vec{a} = (1; -1; 3), \quad \vec{b} = (-2; 2; 1), \quad \vec{c} = (3; -2; 5) \]

Порядок действий:

1. Найти векторное произведение \( \vec{b} \times \vec{c} \).
2. Найти скалярное произведение \( \vec{a} \) на результат векторного произведения.

1. Векторное произведение \( \vec{b} \times \vec{c} \)

Векторное произведение векторов \( \vec{b} = (b_1, b_2, b_3) \) и \( \vec{c} = (c_1, c_2, c_3) \) вычисляется по формуле:

\[ \vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}, \]

где \( \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} \) — орты координатных осей. Подставим значения векторов \( \vec{b} = (-2, 2, 1) \) и \( \vec{c} = (3, -2, 5) \):

\[ \vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & 2 & 1 \\ 3 & -2 & 5 \end{vmatrix} \]

Теперь вычислим определитель:

1. Для компоненты \( \mathbf{i} \): \[ \mathbf{i}(2 \times 5 - 1 \times (-2)) = \mathbf{i}(10 + 2) = 12\mathbf{i} \]
2. Для компоненты \( \mathbf{j} \): \[ -\mathbf{j}((-2 \times 5 - 1 \times 3)) = -\mathbf{j}(-10 - 3) = 13\mathbf{j} \]
3. Для компоненты \( \mathbf{k} \): \[ \mathbf{k}((-2 \times (-2)) - (2 \times 3)) = \mathbf{k}(4 - 6) = -2\mathbf{k} \]

\[ \vec{b} \times \vec{c} = (12; 13; -2) \]

2. Скалярное произведение \( \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) \)

Теперь найдем скалярное произведение \( \vec{a} = (1, -1, 3) \) на результат векторного произведения \( \vec{b} \times \vec{c} = (12, 13, -2) \):

\[ \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 1 \cdot 12 + (-1) \cdot 13 + 3 \cdot (-2) \]

\[ = 12 - 13 - 6 = -7 \]

Ответ:

\[ abc = -7 \]

Векторное произведение двух векторов \( \mathbf{A} \) и \( \mathbf{B} \) определяется следующим образом:

Определение

Векторное произведение \( \mathbf{C} \) двух векторов \( \mathbf{A} \) и \( \mathbf{B} \) записывается как:

\( \mathbf{C} = \mathbf{A} \times \mathbf{B} \)

и определяется по правилу:

\( \mathbf{C} = |\mathbf{A}| |\mathbf{B}| \sin(\theta) \, \mathbf{n} \),

где \( |\mathbf{A}| \) и \( |\mathbf{B}| \) — длины векторов \( \mathbf{A} \) и \( \mathbf{B} \); \( \theta \) — угол между векторами, а \( \mathbf{n} \) — единичный вектор, перпендикулярный плоскости, образованной \( \mathbf{A} \) и \( \mathbf{B} \), и направленный согласно правилу правой руки.

Свойства

• \(< \mathbf{A} \times \mathbf{B} > = - (< \mathbf{B} \times \mathbf{A} >) (антикоммутативность).
• \(< \mathbf{A} \times (\mathbf{B} + \mathbf{C}) > = < \mathbf{A} \times \mathbf{B} > + < \mathbf{A} \times \mathbf{C} > (дистрибутивность).
• \(< c \cdot \mathbf{A} \times \mathbf{B} > = c \cdot (< \mathbf{A} \times \mathbf{B} >), где \( c \) — скаляр.

Применение

Векторное произведение находит применение в физике и инженерии, например:

• Для вычисления момента силы: \( \mathbf{M} = \mathbf{r} \times \mathbf{F} \).
• В электронике и электродинамике для определения силы Лоренца: \( \mathbf{F} = q (\mathbf{v} \times \mathbf{B}) \).