Найти смешанное произведение

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Векторное исчисление, смешанное произведение векторов

Задание:

Найти смешанное произведение \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \), где:

\[ \vec{a} = (2, 3, 4), \quad \vec{b} = (1, -1, 0), \quad \vec{c} = (3, 2, 4) \]

Решение:

Смешанное произведение определяется как скалярное произведение одного вектора на векторное произведение двух других:

\[ \left( \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) \right) \]

1. Найдем векторное произведение векторов \( \vec{b} \times \vec{c} \):

   Для этого используем следующий определитель:

   \[ \vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 0 \\ 3 & 2 & 4 \end{vmatrix} \]

   Раскроем данный определитель:

   \[ \vec{b} \times \vec{c} = \hat{i} \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} - \hat{j} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} + \hat{k} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} \]

   1. Для компоненты по \( \hat{i} \):

   \[ \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = (-1) \cdot 4 - 0 \cdot 2 = -4 \]

   Значит, компонент по \( \hat{i} \) равен -4.

   2. Для компоненты по \( \hat{j} \):

   \[ \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 - 0 \cdot 3 = 4 \]

   Компонента по \( \hat{j} \), с учетом знака (минус перед \( \hat{j} \)), равна -4.

   3. Для компоненты по \( \hat{k} \):

   \[ \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 - (-1) \cdot 3 = 2 + 3 = 5 \]

   Значит, \( \vec{b} \times \vec{c} = (-4, -4, 5) \).

2. Найдем скалярное произведение \( \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) \):

   \[ \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = (2, 3, 4) \cdot (-4, -4, 5) \]

   Теперь вычислим это скалярное произведение:

   \[ \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 2 \cdot (-4) + 3 \cdot (-4) + 4 \cdot 5 = -8 - 12 + 20 = 0 \]

Ответ:

Смешанное произведение равно 0.