Найти скалярное произведение векторов ( a+b;3a-2b) , если |a|=4,|b|=1, угол между векторами a и b равен 120 градусов

Условие:

Найти скалярное произведение векторов ( a+b;3a-2b) , если |a|=4,|b|=1, угол между векторами a и b равен 120 градусов

Решение:

Определим предмет и раздел предмета данного задания. Задание относится к предмету "Математика", а разделом является "Линейная алгебра" или "Векторная алгебра". Рассмотрим два вектора \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{v}\): \[ \mathbf{u} = \mathbf{a} + \mathbf{b} \] \[ \mathbf{v} = 3\mathbf{a} - 2\mathbf{b} \] Мы ищем их скалярное произведение: \[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \] Скалярное произведение двух векторов \(\mathbf{x}\) и \(\mathbf{y}\) определяется как: \[ \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_n \] или в общем виде: \[ \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = |\mathbf{x}| |\mathbf{y}| \cos \theta \] Но мы будем использовать также распределительный закон скалярного произведения: \[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = (\mathbf{a} + \mathbf{b}) \cdot (3\mathbf{a} - 2\mathbf{b}) \] Это можно разложить на четыре скалярных произведения: \[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{a} \cdot (3\mathbf{a} - 2\mathbf{b}) + \mathbf{b} \cdot (3\mathbf{a} - 2\mathbf{b}) \] Выполним эти скалярные произведения по отдельности: \[ \mathbf{a} \cdot (3\mathbf{a} - 2\mathbf{b}) = 3(\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}) - 2(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \] \[ \mathbf{b} \cdot (3\mathbf{a} - 2\mathbf{b}) = 3(\mathbf{b} \cdot \mathbf{a}) - 2(\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}) \] Подставляем известные значения: \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = |\mathbf{a}|^2\) \[ |\mathbf{a}| = 4, \Rightarrow \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = 4^2 = 16 \] \(\mathbf{b} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{b}|^2\) \[ |\mathbf{b}| = 1, \Rightarrow \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} = 1^2 = 1 \] \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}\) можно найти через косинус угла между ними: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos 120^\circ \] \[ |\mathbf{a}| = 4, |\mathbf{b}| = 1, \cos 120^\circ = -\frac{1}{2} \] \[ \Rightarrow \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 4 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -2 \] Теперь соберём все части: \[ \mathbf{a} \cdot (3\mathbf{a} - 2\mathbf{b}) = 3 \cdot 16 - 2 \cdot (-2) = 48 + 4 = 52 \] \[ \mathbf{b} \cdot (3\mathbf{a} - 2\mathbf{b}) = 3 \cdot (-2) - 2 \cdot 1 = -6 - 2 = -8 \] Сложим полученные результаты: \[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 52 - 8 = 44 \] Ответ: скалярное произведение векторов \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{v}\) равно 44.