Найти скалярное произведение векторов ( a+b;3a-2b) , если |a|=4,|b|=1, угол между векторами a и b равен 120 градусов

Определим предмет и раздел предмета данного задания.

Задание относится к предмету "Математика", а разделом является "Линейная алгебра" или "Векторная алгебра". Рассмотрим два вектора \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{v}\):

\[\mathbf{u} = \mathbf{a} + \mathbf{b}\]

\[\mathbf{v} = 3\mathbf{a} - 2\mathbf{b}\]

Мы ищем их скалярное произведение:

\[\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}\]

Скалярное произведение двух векторов \(\mathbf{x}\) и \(\mathbf{y}\) определяется как:

\[\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_n\]

или в общем виде:

\[\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = |\mathbf{x}| |\mathbf{y}| \cos \theta\]

Но мы будем использовать также распределительный закон скалярного произведения:

\[\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = (\mathbf{a} + \mathbf{b}) \cdot (3\mathbf{a} - 2\mathbf{b})\]

Это можно разложить на четыре скалярных произведения:

\[\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{a} \cdot (3\mathbf{a} - 2\mathbf{b}) + \mathbf{b} \cdot (3\mathbf{a} - 2\mathbf{b})\]

Выполним эти скалярные произведения по отдельности:

\[\mathbf{a} \cdot (3\mathbf{a} - 2\mathbf{b}) = 3(\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}) - 2(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\]

\[\mathbf{b} \cdot (3\mathbf{a} - 2\mathbf{b}) = 3(\mathbf{b} \cdot \mathbf{a}) - 2(\mathbf{b} \cdot \mathbf{b})\]

Подставляем известные значения: \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = |\mathbf{a}|^2\)

\[|\mathbf{a}| = 4, \Rightarrow \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = 4^2 = 16\]

\(\mathbf{b} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{b}|^2\)

\[|\mathbf{b}| = 1, \Rightarrow \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} = 1^2 = 1\]

\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}\) можно найти через косинус угла между ними:

\[\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos 120^\circ\]

\[|\mathbf{a}| = 4, |\mathbf{b}| = 1, \cos 120^\circ = -\frac{1}{2}\]

\[\Rightarrow \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 4 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -2\]

Теперь соберём все части:

\[\mathbf{a} \cdot (3\mathbf{a} - 2\mathbf{b}) = 3 \cdot 16 - 2 \cdot (-2) = 48 + 4 = 52\]

\[\mathbf{b} \cdot (3\mathbf{a} - 2\mathbf{b}) = 3 \cdot (-2) - 2 \cdot 1 = -6 - 2 = -8\]

Сложим полученные результаты:

\[\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 52 - 8 = 44\]

Ответ: скалярное произведение векторов \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{v}\) равно 44.