Найти скалярное произведение векторов

Условие:

Найти скалярное произведение векторов

Решение:

Задание относится к предмету "Линейная алгебра". Ниже будут предоставлены поэтапные объяснения для нахождения скалярного произведения двух векторов. ### Шаг 1: Определите векторы Даны векторы \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \): \[ \mathbf{a} = (-1, 0, -3) \] \[ \mathbf{b} = (2, -2, -1) \] ### Шаг 2: Найдите вектор \( \mathbf{a} - \mathbf{b} \) Для этого вычтем координаты вектора \( \mathbf{b} \) из координат вектора \( \mathbf{a} \): \[ \mathbf{a} - \mathbf{b} = (-1 - 2, 0 - (-2), -3 - (-1)) \] \[ \mathbf{a} - \mathbf{b} = (-3, 2, -2) \] ### Шаг 3: Найдите вектор \( 3\mathbf{a} + 2\mathbf{b} \) Для этого умножим вектор \( \mathbf{a} \) на 3 и вектор \( \mathbf{b} \) на 2, затем сложим полученные векторы: \[ 3\mathbf{a} = 3(-1, 0, -3) = (-3, 0, -9) \] \[ 2\mathbf{b} = 2(2, -2, -1) = (4, -4, -2) \] Теперь сложим эти векторы: \[ 3\mathbf{a} + 2\mathbf{b} = (-3, 0, -9) + (4, -4, -2) \] \[ 3\mathbf{a} + 2\mathbf{b} = (1, -4, -11) \] ### Шаг 4: Найдите скалярное произведение векторов \( (\mathbf{a} - \mathbf{b}) \) и \( (3\mathbf{a} + 2\mathbf{b}) \) Скалярное произведение двух векторов \( \mathbf{u} = (u_1, u_2, u_3) \) и \( \mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3) \) определяется как: \[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 \] Подставим найденные значения \( \mathbf{a} - \mathbf{b} = (-3, 2, -2) \) и \( 3\mathbf{a} + 2\mathbf{b} = (1, -4, -11) \) в формулу скалярного произведения: \[ (\mathbf{a} - \mathbf{b}) \cdot (3\mathbf{a} + 2\mathbf{b}) = -3 \cdot 1 + 2 \cdot (-4) + (-2) \cdot (-11) \] \[ = -3 - 8 + 22 \] \[ = -3 - 8 + 22 \] \[ = 11 \] Таким образом, скалярное произведение векторов \( (\mathbf{a} - \mathbf{b}) \) и \( (3\mathbf{a} + 2\mathbf{b}) \) равно 11.